Question

【題目】設(shè)是定義在上的函數(shù)，如果存在點(diǎn)，對函數(shù)的圖象上任意點(diǎn)，關(guān)于點(diǎn)的對稱點(diǎn)也在函數(shù)的圖象上，則稱函數(shù)關(guān)于點(diǎn)對稱，稱為函數(shù)的一個對稱點(diǎn)，對于定義在上的函數(shù)，可以證明點(diǎn)是圖象的一個對稱點(diǎn)的充要條件是，．

（1）求函數(shù)圖象的一個對稱點(diǎn)；

（2）函數(shù)的圖象是否有對稱點(diǎn)？若存在則求之，否則說明理由；

（3）函數(shù)的圖象是否有對稱點(diǎn)？若存在則求之，否則說明理由．

Answer 1

【答案】（1）函數(shù)圖象的一個對稱點(diǎn)為；

（2）函數(shù)的圖象無對稱點(diǎn)．

（3）函數(shù)的圖象有一個對稱點(diǎn)．

【解析】

試題分析：（1）設(shè)為函數(shù)圖象的一個對稱點(diǎn)，由題意即對于恒成立，由可得函數(shù)圖象的一個對稱點(diǎn)；（2）假設(shè)是函數(shù)的圖象的一個對稱點(diǎn)，即對于恒成立，因?yàn)?/span>，所以不恒成立，即函數(shù)的圖象無對稱點(diǎn)．（3）假設(shè)是函數(shù)的圖象的一個對稱點(diǎn)，對于恒成立，所以

解之即可．

試題解析：（1）設(shè)為函數(shù)圖象的一個對稱點(diǎn)，則對于恒成立，即對于恒成立，

∴由，

故函數(shù)圖象的一個對稱點(diǎn)為．

（2）假設(shè)是函數(shù)的圖象的一個對稱點(diǎn)，

則對于恒成立，

即對于恒成立，因?yàn)?/span>，所以不恒成立，即函數(shù)的圖象無對稱點(diǎn)．

（3）假設(shè)是函數(shù)的圖象的一個對稱點(diǎn)，

則對于恒成立，

即對于恒成立，

所以

故函數(shù)的圖象有一個對稱點(diǎn)．

（其實(shí)，而函數(shù)是奇函數(shù)，其圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱，故的圖象關(guān)于對稱）