三棱錐,底面
為邊長為
的正三角形,平面
平面
,
,
為
上一點(diǎn),
,
為底面三角形中心.
(Ⅰ)求證∥面
;
(Ⅱ)求證:;
(Ⅲ)設(shè)為
中點(diǎn),求二面角
的余弦值.
(Ⅰ)先證∥
(Ⅱ)先證
平面
(Ⅲ)
解析試題分析:(Ⅰ)連結(jié)交
于點(diǎn)
,連結(jié)
.
為正三角形
的中心,∴
,
且為
中點(diǎn).又
, ∴
∥
,
平面
,
平面
∴∥面
.
(Ⅱ),且
為
中點(diǎn), ∴
,
又平面平面
,
∴平面
,
由(Ⅰ)知,∥
,
∴平面
,∴
連結(jié),則
,又
,
∴平面
,∴
.
(Ⅲ)由(Ⅰ)(Ⅱ)知,兩兩互相垂直,且
為
中點(diǎn),所以分別以
所在直線為
軸,建立空間直角坐標(biāo)系,如圖
,則
∴
設(shè)平面的法向量為
,則
,
令,則
.
由(Ⅱ)知平面
,∴
為平面
的法向量,
∴,
由圖可知,二面角的余弦值為
.
考點(diǎn):直線與平面平行的判定;直線與平面垂直的性質(zhì);二面角的平面角及求法.
點(diǎn)評:本題考查直線與平面的平行的判斷,在與平面垂直的性質(zhì)定理的應(yīng)用,二面角的求法,考查空間想象能力與計(jì)算能力,以及邏輯推理能力.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
已知三棱錐,平面
平面
,AB=AD=1,AB⊥AD,DB=DC,DB⊥DC
(1) 求證:AB⊥平面ADC;
(2) 求三棱錐的體積;
(3) 求二面角的正切值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
如圖:是⊙
的直徑,
垂直于⊙
所在的平面,PA="AC,"
是圓周上不同于
的任意一點(diǎn),(1) 求證:
平面
。(2) 求二面角 P-BC-A 的大小。
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
如圖,空間四邊形的對棱
、
成
的角,且
,平行于
與
的截面分別交
、
、
、
于
、
、
、
.
(1)求證:四邊形為平行四邊形;
(2)在
的何處時截面
的面積最大?最大面積是多少?
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
如圖甲,在平面四邊形ABCD中,已知,
,現(xiàn)將四邊形ABCD沿BD折起,使平面ABD
平面BDC(如圖乙),設(shè)點(diǎn)E、F分別為棱AC、AD的中點(diǎn).
(Ⅰ)求證:DC平面ABC;
(Ⅱ)設(shè),求三棱錐A-BFE的體積.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
如圖所示,已知正方形和矩形
所在的平面互相垂直,
是線段
的中點(diǎn)。
(1)證明:∥平面
(2)求異面直線與
所成的角的余弦值。
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