Question

16．已知函數(shù)f（x）=x²+4x+2，g（x）=2e^x（x+1），若x≥-2時，f（x）≤kg（x），求k的取值范圍．

Answer 1

分析 分當(dāng)x=-1時，當(dāng)x∈[-2，-1）時，當(dāng)x∈（-1，+∞）時三種情況，討論使f（x）≤kg（x）成立的k的取值范圍，綜合討論結(jié)果，可得答案．

解答 解：當(dāng)x=-1時，f（x）=-1，g（x）=0，此時f（x）≤kg（x）恒成立；
當(dāng)x∈[-2，-1）時，g（x）=2e^x（x+1）＜0，f（x）≤kg（x）可化為：k≤$\frac{{x}^{2}+4x+2}{2{e}^{x}（x+1）}$，
令h（x）=$\frac{{x}^{2}+4x+2}{2{e}^{x}（x+1）}$，則h′（x）=$\frac{{-x（x+2）}^{2}}{2{e}^{x}（x+1）^{2}}$≥0恒成立，
故h（x）在區(qū)間[-2，-1）上恒成立，
當(dāng)x=-2時，h（x）取最小值e²，
故k≤e²，
當(dāng)x∈（-1，+∞）時，g（x）=2e^x（x+1）＞0，f（x）≤kg（x）可化為：k≥$\frac{{x}^{2}+4x+2}{2{e}^{x}（x+1）}$，
令h（x）=$\frac{{x}^{2}+4x+2}{2{e}^{x}（x+1）}$，則h′（x）=$\frac{{-x（x+2）}^{2}}{2{e}^{x}（x+1）^{2}}$，
當(dāng)x∈（-1，0）時，h′（x）＜0，當(dāng)x∈（0，+∞）時，h′（x）＞0，
故當(dāng)x=0時，h（x）取極小值1，
故k≥1，
綜上所述：k∈[1，e²]

點(diǎn)評 本題考查的知識點(diǎn)是導(dǎo)數(shù)法判斷函數(shù)的單調(diào)性，分類討論思想，難度中檔．