Question

11．設(shè)P為函數(shù)f（x）=sinπx的圖象上的一個(gè)最高點(diǎn)，Q為函數(shù)g（x）=cosπx的圖象上的一個(gè)最低點(diǎn)．
（1）求|PQ|的最小值；
（2）求f（x）的圖象與g（x）的圖象的交點(diǎn)中，相鄰的三個(gè)交點(diǎn)構(gòu)成的三角形的面積；
（3）求函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于直線x=$\frac{1}{4}$對(duì)稱的函數(shù)h（x）圖象的解析式，并求出$x∈[-\frac{2}{3}，\frac{1}{3}]$的值域．

Answer 1

分析 （1）設(shè)出P和Q的坐標(biāo)，根據(jù)兩點(diǎn)之間的距離公式求解．
（2）根據(jù)正余弦函數(shù)的圖象可知，相鄰的三個(gè)交點(diǎn)構(gòu)成的三角形是一個(gè)等腰三角形，其高為$\sqrt{2}$，底邊長(zhǎng)為一個(gè)周期T=2．可求的三角形的面積；
（3）根據(jù)函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于直線x=$\frac{1}{4}$對(duì)稱的函數(shù)h（x）圖象，求出解析式，$x∈[-\frac{2}{3}，\frac{1}{3}]$時(shí)，求出內(nèi)層函數(shù)的取值范圍，結(jié)合三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，求出f（x）的取值最大和最小值，即得到f（x）的值域．

解答 解：（1）P為函數(shù)f（x）=sinπx的圖象上的一個(gè)最高點(diǎn)，Q為函數(shù)g（x）=cosπx的圖象上的一個(gè)最低點(diǎn)．
設(shè)f（x）最高點(diǎn)坐標(biāo)為P$（\frac{1}{2}+2{k_1}，1）{k_1}∈Z$，g（x）最低點(diǎn)坐標(biāo)為Q（1+2k₂，-1）k₂∈Z
∴$|{PQ}|=\sqrt{{{[2{{（{k_1}-{k_2}）}^2}-\frac{1}{2}]}^2}+4}$
當(dāng)k₁-k₂=0時(shí)|PQ|_min=$\frac{{\sqrt{17}}}{2}$．
（2）函數(shù)f（x）=sinπx和函數(shù)g（x）=cosπx的周期T=$\frac{2π}{π}=2$，
其相鄰的三個(gè)交點(diǎn)構(gòu)成一個(gè)等腰三角形，其高為$\sqrt{2}$，底邊長(zhǎng)為一個(gè)周期T=2．
三角形的面積S=$\frac{1}{2}×\sqrt{2}×2$=$\sqrt{2}$；
（3）函數(shù)f（x）的圖象與函數(shù)h（x）圖象關(guān)于直線x=$\frac{1}{4}$對(duì)稱，
設(shè)h（x）圖象上的點(diǎn)M（x，h（x）），關(guān)于直線x=$\frac{1}{4}$對(duì)稱的點(diǎn)N為（x-$\frac{1}{2}$，-h（x）），
N點(diǎn)在函數(shù)f（x）的圖象上，
∴-h（x）=f（x-$\frac{1}{2}$）=sinπ（x-$\frac{1}{2}$）
∴h（x）=-sin（$πx-\frac{π}{2}$）=cosπx
∵$x∈[-\frac{2}{3}，\frac{1}{3}]$，
∴πx∈[$-\frac{2π}{3}$，$\frac{π}{3}$]
當(dāng)$πx=-\frac{2π}{3}$時(shí)，函數(shù)h（x）取得最小值為$-\frac{1}{2}$，
當(dāng)πx=0時(shí)，函數(shù)h（x）取得最大值為1．
故得$x∈[-\frac{2}{3}，\frac{1}{3}]$時(shí)函數(shù)h（x）的值域?yàn)?nbsp;$[-\frac{1}{2}，1]$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查對(duì)三角函數(shù)的化簡(jiǎn)能力和三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)的運(yùn)用，圖象對(duì)稱關(guān)系的解析式的求法．屬于中檔題．