Question

在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線l：x-y+3=0與圓O：x²+y²=r²（r＞0）相交于A，B兩點．若

OA

+2

OB

=

3

OC

，且點C也在圓O上，則圓O的方程為

 

．

Answer 1

分析：聯(lián)立直線與圓的方程即可得到根與系數(shù)的關(guān)系，再利用已知向量關(guān)系式，即可得出點C的坐標(biāo)滿足的關(guān)系式，代入圓的方程又得出點A，B的坐標(biāo)的關(guān)系式，聯(lián)立即可解出．

解答：解：設(shè)點A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
聯(lián)立

x-y+3=0 x2+y2=r2

，消去y得到關(guān)于x的一元二次方程2x²+6x+9-r²=0，
∵直線l與圓O相較于A、B兩點，則△=36-8（9-r²）＞0．（*）
∴x₁+x₂=-3，x1x2=

9-r2

2

．
設(shè)點C（x₀，y₀）．
∵

OA

+2

OB

=

3

OC

，∴(x1，y1)+2(x2，y2)=

3

(x0，y0)，
又∵y₁=x₁+3，y₂=x₂+3．
∴可得：

x0= x1+2x2 3 y0= x1+2x2+9 3

，
代入圓O的方程得(

x1+2x2

3

)2+(

x1+2x2+9

3

)2=r2，
化為(x1+2x2)2+(x1+2x2+9)2=3r2，
聯(lián)立

(x1+2x2)2+(x1+2x2+9)2=3r2 x1+x2=-3 x1x2= 9-r2 2

，消去x₁，x₂化為r²=18，滿足（*）．
因此所求的圓O的方程為x²+y²=18．

點評：熟練掌握直線與圓相交問題變得解題模式、根與系數(shù)的關(guān)系、向量相等、方程對的思想方法是解題的關(guān)鍵．