Question

 設(shè)為非負(fù)實(shí)數(shù)，函數(shù)．

       （Ⅰ）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

       （Ⅱ）討論函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，并求出零點(diǎn)．（Ⅲ）當(dāng)時(shí)，，試求的最大值，并求取得最大值時(shí)的表達(dá)式。

Answer 1

解析：（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，， -------------1分

       ① 當(dāng)時(shí)，，

       ∴在上單調(diào)遞增； --------------2分

       ② 當(dāng)時(shí)，，

       ∴在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增； --------------3分

       綜上所述，的單調(diào)遞增區(qū)間是和，單調(diào)遞減區(qū)間是。------4分

（Ⅱ）（1）當(dāng)時(shí)，，函數(shù)的零點(diǎn)為； -----5分

       （2）當(dāng)時(shí)，， --------------6分

       故當(dāng)時(shí)，，二次函數(shù)對(duì)稱軸，

       ∴在上單調(diào)遞增，； -----------7分

       當(dāng)時(shí)，，二次函數(shù)對(duì)稱軸，

       ∴在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增； ------------------------------8分

       ∴的極大值為，

 當(dāng)，即時(shí)，函數(shù)與軸只有唯一交點(diǎn)，即唯一零點(diǎn)，

由解之得

函數(shù)的零點(diǎn)為或（舍去）；

----------------------10分

 當(dāng)，即時(shí)，函數(shù)與軸有兩個(gè)交點(diǎn)，即兩個(gè)零點(diǎn)，分別為

和； -----------------------11分

        當(dāng)，即時(shí)，函數(shù)與軸有三個(gè)交點(diǎn)，即有三個(gè)零點(diǎn)，

       由解得，，

       ∴函數(shù)的零點(diǎn)為和。-----------12分

       綜上可得，當(dāng)時(shí)，函數(shù)的零點(diǎn)為；

       當(dāng)時(shí)，函數(shù)有一個(gè)零點(diǎn)，且零點(diǎn)為；

       當(dāng)時(shí)，有兩個(gè)零點(diǎn)和；
當(dāng)時(shí)，函數(shù)有三個(gè)零點(diǎn)和