Question

已知函數(shù)f（x）=ln（x+1）-x．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間；
（Ⅱ）若x＞-1，證明：．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）函數(shù)f（x）的定義域?yàn)椋?1，+∞）．f'（x）=-，由此能求出函數(shù)f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，當(dāng)x∈（-1，0）時(shí)，f'（x）＞0，當(dāng)x∈（0，+∞）時(shí)，f'（x）＜0，故ln（x+1）-x≤0，ln（x+1）≤x．令，則=．由此能夠證明當(dāng)x＞-1時(shí)，．
解答：（Ⅰ）解：函數(shù)f（x）的定義域?yàn)椋?1，+∞）．
f'（x）=-1=-…（2分）
由f'（x）＜0及x＞-1，得x＞0．
∴當(dāng)x∈（0，+∞）時(shí)，f（x）是減函數(shù)，
即f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為（0，+∞）．…4
（Ⅱ）證明：由（Ⅰ）知，
當(dāng)x∈（-1，0）時(shí)，f'（x）＞0，
當(dāng)x∈（0，+∞）時(shí)，f'（x）＜0，
因此，當(dāng)x＞-1時(shí)，f（x）≤f（0），
即ln（x+1）-x≤0，
∴l(xiāng)n（x+1）≤x．…（6分）
令，
則=．…（8分）
∴當(dāng)x∈（-1，0）時(shí)，g'（x）＜0，
當(dāng)x∈（0，+∞）時(shí)，g'（x）＞0．…10
∴當(dāng)x＞-1時(shí)，g（x）≥g（0），
即 ≥0，
∴．
綜上可知，當(dāng)x＞-1時(shí)，
有．…（12分）
點(diǎn)評(píng)：本題考查利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值的應(yīng)用，考查運(yùn)算求解能力，推理論證能力；考查化歸與轉(zhuǎn)化思想．對(duì)數(shù)學(xué)思維的要求比較高，有一定的探索性．綜合性強(qiáng)，難度大，是高考的重點(diǎn)．解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答．