Question

2．已知數(shù)列{a_n}中．a(chǎn)₁=$\frac{3}{5}$，a_n+1=$\frac{{a}_{n}}{2{a}_{n}+1}$，則數(shù)列{a_n}的通項公式為a_n=$\frac{3}{6n-1}$．

Answer 1

分析 將所給的式子變形得：-2a_n+1•a_n=a_n+1-a_n，兩邊除以a_n+1•a_n后，根據(jù)等差數(shù)列的定義，構(gòu)造出新的等差數(shù)列{ $\frac{1}{{a}_{n}}$}，再代入通項公式求出 $\frac{1}{{a}_{n}}$，再求出a_n．

解答 解：由題意得a_n+1=$\frac{{a}_{n}}{2{a}_{n}+1}$，則-2a_n+1•a_n=a_n+1-a_n，
兩邊除以a_n+1•a_n得，$\frac{1}{{a}_{n+1}}$-$\frac{1}{{a}_{n}}$=2，
∴數(shù)列{$\frac{1}{{a}_{n}}$}是以$\frac{5}{3}$為首項，2為公差的等差數(shù)列，
∴$\frac{1}{{a}_{n}}$=$\frac{5}{3}$+（n-1）×2=2n-$\frac{1}{3}$，
則a_n=$\frac{1}{2n-\frac{1}{3}}$=$\frac{3}{6n-1}$，
故答案為：a_n=$\frac{3}{6n-1}$．

點評 本題考查數(shù)列遞推關系式的應用，數(shù)列的通項公式的求法，解題時要認真審題，仔細解答，注意構(gòu)造法的合理運用，是中檔題．