Question

函數(shù)f（x）=（m-4）x³+10x在[1，2]上最大值為4，則實(shí)數(shù)m=

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)的性質(zhì)

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：先求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，從而得出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，得到f（x）_max=f（2）=4，解出即可．

解答： 解：∵f′（x）=3（m-4）x²+10，
①m-4=0，即m=4時(shí)，f′（x）=10＞0，
∴f（x）_max=f（2）=20≠4，不合題意；
②m-4＞0，即m＞4時(shí)：f′（x）＞0，
∴f（x）在[1，2]遞增，
∴f（x）_max=f（2）=8（m-4）+20=4，解得：m=-2（舍），
③m-4＜0時(shí)，令g（x）=3（m-4）x²+10，g（x）在（0，+∞）遞減，
若在[1，2]上，g（x）＞0，則g（2）=12（m-4）+10＞0，解得：m＞

19

6

，
∴

19

6

＜m＜4時(shí)，g（x）在[1，2]上的最小值為g（2）＞0，
即f′（x）＞0，同②得：m=-2不合題意，
若在[1，2]上，g（x）＜0，則g（1）=3（m-4）+10＜0，解得：m＜

2

3

，
∴m＜

2

3

時(shí)，g（x）在[1，2]上的最大值為g（1）＜0，
即f′（x）＜0，∴f（x）在[1，2]遞減，
∴f（x）_max=f（1）=m-4+10=4，解得：m=-2，

2

3

＜m＜

19

6

時(shí)，g（1）＞0，g（2）＜0，
令g（x）=0，解得：x=

30(4-m)

3(4-m)

，
∴在[1，

30(4-m)

3(4-m)

）上，g（x）＞0，f（x）遞增，
在[

30(4-m)

3(4-m)

，2]上，g（x）＜0，f（x）遞減，
∴f（x）在[1，2]上的最大值是f（

30(4-m)

4-m

）=4，
解得：m=4，m=746，不合題意，
綜上：m=-2．
故答案為：-2．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了函數(shù)的單調(diào)性，函數(shù)的最值問題，導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，考查分類討論思想，是一道中檔題．