已知函數(shù)
（1）若函數(shù)f（x）有三個(gè)零點(diǎn)x1，x2，x3，且，且a＞0，求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）若，且3a＞2c＞2b，試問(wèn)：導(dǎo)函數(shù)f′（x）在區(qū)間（0，2）內(nèi)是否有零點(diǎn)，并說(shuō)明理由．
【答案】分析：（1）因?yàn)?，因?yàn)閤1，x3是方程 的兩根，使用根與系數(shù)的關(guān)系，得出b，c與a的關(guān)系式，從而得到f（x）的 解析式及f'（x）的解析式，由f'（x）＜0求出減區(qū)間．
（2）求出 ，f'（0）=c，f'（2）=a-c，當(dāng)c＞0時(shí) f'（x）在區(qū)間（0，1）內(nèi)至少有一個(gè)零點(diǎn)，當(dāng)c≤0時(shí)，f'（x）在區(qū)間（1，2）內(nèi)至少有一零點(diǎn)．
解答：解：（1）因?yàn)?，又 ，
則 ．
因?yàn)閤1，x3是方程 的兩根，則 ，．即b=-3a，c=-4a．
所以． 
∴f'（x）=a（x2-3x-4），由x2-3x-4＜0，得-1＜x＜4．
故f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間是（-1，4），單調(diào)遞增區(qū)間是（-∞，-1），（4，+∞）．
（2）因?yàn)閒'（x）=ax2+bx+c，，所以 ，即3a+2b+2c=0．
因?yàn)?a＞2c＞2b，所以3a＞0，2b＜0，即a＞0，b＜0．
于是 ，f'（0）=c，f'（2）=4a+2b+c=4a-（3a+2c）+c=a-c．
①當(dāng)c＞0時(shí)，因?yàn)?，則f'（x）在區(qū)間（0，1）內(nèi)至少有一個(gè)零點(diǎn)．
②當(dāng)c≤0時(shí)，因?yàn)?，則f'（x）在區(qū)間（1，2）內(nèi)至少有一零點(diǎn)．
故導(dǎo)函數(shù)f'（x）在區(qū)間（0，2）內(nèi)至少有一個(gè)零點(diǎn)．
點(diǎn)評(píng)：本題考查利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，函數(shù)的零點(diǎn)的判斷，二次函數(shù)的性質(zhì)與不等式性質(zhì)的應(yīng)用等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想．屬于中檔題．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=x2+（a+1）x+lg|a+2|，g（x）=（a+1）x，（a∈R，a≠-2）．
（1）若函數(shù)f（x）和g（x）在區(qū)間[lg|a+2|，（a+1）2]上都是減函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（2）在（1）的條件下，比較f（1）與
16
的大小，寫出理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=log3（ax+b）圖象過(guò)點(diǎn)A（2，1）和B（5，2），設(shè)an=3f（n），n∈N*．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的解析式及數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）求使不等式(1+
1
a1
)(1+
1
a2
)…(1+
1
an
)≥a
2n+1
對(duì)一切n∈N*均成立的最大實(shí)數(shù)a；
（Ⅲ）對(duì)每一個(gè)k∈N*，在ak與ak+1之間插入2k-1個(gè)2，得到新數(shù)列：a1，2，a2，2，2，a3，2，2，2，2，a4，…，記為{bn}，設(shè)Tn是數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和，試問(wèn)是否存在正整數(shù)m，使Tm=2008？若存在，求出m的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知函數(shù)f（x）的圖象在[a，b]上連續(xù)不斷曲線，定義：f1（x）=min{f（t）|a≤t≤x}（x∈[a，b]），f2（x）=max{f（t）|a≤t≤x}（x∈[a，b]）．其中，min{f（t）|t∈D}表示函數(shù)f（t）在D上的最小值，max{f（t）|x∈D}表示函數(shù)f（t）在D上的最大值．若存在最小正整數(shù)k，使得f2（x）-f1（x）≤k（x-a）對(duì)任意的x∈[a，b]成立，則稱函數(shù)f（x）為[a，b]上的“k階收縮函數(shù)”．
（1）已知函數(shù)f（x）=2sinx（0≤x≤
n
2
），試寫出f1（x），f2（x）的表達(dá)式，并判斷f（x）是否為[0，
n
2
]上的“k階收縮函數(shù)”，如果是，請(qǐng)求對(duì)應(yīng)的k的值；如果不是，請(qǐng)說(shuō)明理由；
（2）已知b＞0，函數(shù)g（x）=-x3+3x2是[0，b]上的2階收縮函數(shù)，求b的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

如果是函數(shù)的一個(gè)極值，稱點(diǎn)是函數(shù)的一個(gè)極值點(diǎn).已知函數(shù)

（1）若函數(shù)總存在有兩個(gè)極值點(diǎn)，求所滿足的關(guān)系；

（2）若函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)，且存在，求在不等式表示的區(qū)域內(nèi)時(shí)實(shí)數(shù)的范圍.

（3）若函數(shù)恰有一個(gè)極值點(diǎn)，且存在，使在不等式表示的區(qū)域內(nèi)，證明：.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：2010-2011學(xué)年福建省高三12月月考數(shù)學(xué)理卷 題型：解答題

（本小題滿分14分）已知函數(shù) 

（1）若函數(shù)在區(qū)間其中a >0，上存在極值，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；

（2）如果當(dāng)時(shí)，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)k的取值范圍；

（3）求證.

 

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