Question

11．已知圓C₁：x²+y²=2和圓C₂，直線l與圓C₁相切于點（1，1）；圓C₂的圓心在射線2x-y=0（x≥0）上，圓C₂過原點，且被直線l截得的弦長為4$\sqrt{3}$．
（1）求直線l的方程；
（2）求圓C₂的方程．

Answer 1

分析 （1）求出直線l的斜率，即可求直線l的方程；
（2）利用勾股定理，求出圓心坐標與半徑，即可求圓C₂的方程．

解答 解：（1）∵直線l與圓C₁相切于點（1，1），
∴直線l的斜率k=-1，
∴直線l的方程為x+y-2=0--------（4分）
（2）由已知可設C₂（a，2a）（a＞0），
∵圓C₂過原點，∴$r=\sqrt{5}a$------（6分）
圓心C₂到直線l的距離d=$\frac{|3a-2|}{\sqrt{2}}$，------（8分）
又弦長為4$\sqrt{3}$，∴$12+\frac{（3a-2）^{2}}{2}=5{a}^{2}$，
∵a＞0，∴a=2，
∴圓C₂的方程為（x-2）²+（y-4）²=20．--------（12分）

點評 本題考查直線與圓的方程，考查點到直線的距離公式，屬于中檔題．