【題目】已知雙曲線：經過點，且其中一焦點到一條漸近線的距離為1.

（1）求雙曲線的方程；

（2）過點作兩條相互垂直的直線，分別交雙曲線于，兩點，求點到直線距離的最大值.

【答案】（1） （2）

【解析】

（1）將的坐標代入雙曲線的方程，再由點到直線的距離公式，可得，解得，進而得到雙曲線的方程；

（2）設，，直線的方程為，將代入中，整理得，根據(jù)可得的關系，從而將點到直線距離表示成關于的函數(shù)，再求最值。

（1）∵雙曲線過點，∴.

不妨設為右焦點，則到漸近線的距離，

∴，，

∴所求雙曲線的方程為.

（2）設，，直線的方程為.

將代入中，整理得.

∴①，②，

∵，∴，

∴，

∴.③

將①②代入③，得，

∴.而，∴，

從而直線的方程為.

將代入中，

判別式恒成立，

∴即為所求直線，該直線過定點，

當時，點到直線距離取最大值.

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】某幼兒園舉辦“yue”主題系列活動——“悅”動越健康親子運動打卡活動，為了解小朋友堅持打卡的情況，對該幼兒園所有小朋友進行了調查，調查結果如下表：

打卡天數(shù)

17

18

19

20

21

男生人數(shù)

3

5

3

7

2

女生人數(shù)

3

5

5

7

3

（1）根據(jù)上表數(shù)據(jù)，求該幼兒園男生平均打卡的天數(shù)；

（2）若從打卡21天的小朋友中任選2人交流心得，求選到男生和女生各1人的概率.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知雙曲線：的左、右焦點分別是、，左、右兩頂點分別是、，弦AB和CD所在直線分別平行于x軸與y軸，線段BA的延長線與線段CD相交于點如圖)．

⑴若是的一條漸近線的一個方向向量，試求的兩漸近線的夾角；

⑵若，，，，試求雙曲線的方程；

⑶在⑴的條件下，且，點C與雙曲線的頂點不重合，直線和直線與直線l：分別相交于點M和N，試問：以線段MN為直徑的圓是否恒經過定點？若是，請求出定點的坐標；若不是，試說明理由．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】某工廠預購軟件服務，有如下兩種方案：

方案一：軟件服務公司每日收取工廠60元，對于提供的軟件服務每次10元；

方案二：軟件服務公司每日收取工廠200元，若每日軟件服務不超過15次，不另外收費，若超過15次，超過部分的軟件服務每次收費標準為20元.

（1）設日收費為元，每天軟件服務的次數(shù)為，試寫出兩種方案中與的函數(shù)關系式；

（2）該工廠對過去100天的軟件服務的次數(shù)進行了統(tǒng)計，得到如圖所示的條形圖，依據(jù)該統(tǒng)計數(shù)據(jù)，把頻率視為概率，從節(jié)約成本的角度考慮，從兩個方案中選擇一個，哪個方案更合適？請說明理由.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】如圖，在直四棱柱中，底面是矩形，與交于點，.

（1）證明：平面；

（2）求直線與平面所成角的正弦值.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】如圖所示，圓錐的頂點為A，底面的圓心為O，BC是底面圓的一條直徑，點D，E在底面圓上，已知，.

（1）證明：；

（2）若二面角的大小為，求直線OC與平面ACE所成角的正弦值.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知橢圓的兩焦點分別為，，是橢圓在第一象限內的一點，并滿足，過作傾斜角互補的兩直線、分別交橢圓于、兩點.

（1）求點坐標；

（2）當直線經過點時，求直線的方程；

（3）求證直線的斜率為定值.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】如圖，正方形ABCD的中心為O，四邊形OBEF為矩形，平面OBEF⊥平面ABCD，點G為AB的中點，AB=BE=2.

（Ⅰ）求證：EG∥平面ADF；

（Ⅱ）求二面角OEFC的正弦值；

（Ⅲ）設H為線段AF上的點，且AH=HF，求直線BH和平面CEF所成角的正弦值.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知橢圓，點F為拋物線的焦點，焦點F到直線3x-4y+3=0的距離為d1，焦點F到拋物線C的準線的距離為d2，且。

(1)拋物線C的標準方程;

(2)若在x軸上存在點M，過點M的直線l分別與拋物線C相交于P、Q兩點，且為定值，求點M的坐標.

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