Question

過正方形ABCD的頂點A作PA⊥平面ABCD，設PA＝AB＝a：

　　

(1)求二面角B－PC－D的大�。�

(2)求平面PAB和平面PCD所成二面角的大�。�

Answer 1

答案：
解析：

解 　　(1)∵PA⊥平面ABCD，BD⊥AC， 　　∴BD⊥PC(三垂線定理)． 　　在平面PBC內(nèi)，作BE⊥PC，E為垂足，連結DE，得PC⊥平面BED，從而DE⊥PC，即∠BED是二面角B－PC－D的平面角． 　　在Rt△PAB中，由PA＝AB＝a，得PB＝a．∵PA⊥平面ABCD，BC⊥AB， 　　∴BC⊥PB(三垂線定理)．∴PC＝ 　　在Rt△PBC中，BE＝． 　　同理DE＝． 　　在△BDE中，根據(jù)余弦定理，得 　　cos∠BED＝ 　　∴∠BED＝，此即為二面角B－PC－D的大�。� 　　(2)過P作PQ∥AB，則PQ平面PAB． 　　∵AB∥CD，∴PQ∥CD，PQ平面PCD． 　　∴平面PAB∩平面PCD＝PQ． 　　∵PA⊥AB，∴PA⊥PQ． 　　∵PA⊥平面ABCD，CD⊥AD， 　　∴CD⊥PD(三垂線定理的逆定理)． 　　∴PD⊥PQ． 　　∴∠APD是平面PAB和平面PCD所成二面角的平面角． 　　∵PA＝AB＝AD，∴∠APD＝， 　　即平面PAB和平面PCD所成的二面角是． 　　說明　第(2)題中輔助線PQ是根據(jù)三個平面PAB，PCD，ABCD兩兩相交得到三條交線，其中兩條交線AB，CD互相平行，所以第三條經(jīng)過P點的交線也必須和AB，CD平行而設計添置的．如果將原圖補成如圖的正方體ABCD－PQRS，那么本例的解題途徑將能更簡捷地得到．這種補形法是解決空間問題的一種重要方法．