Question

12．已知F₁，F(xiàn)₂分別是橢圓$\frac{{x}^{2}}{9}+\frac{{y}^{2}}{m}$=1（9＞m＞0）的左右焦點(diǎn)，P是該橢圓上一定點(diǎn)，若點(diǎn)P在第一象限，且|PF₁|=4，PF₁⊥PF₂．
（Ⅰ）求m的值；
（Ⅱ）求點(diǎn)P的坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由橢圓方程可得橢圓長(zhǎng)軸長(zhǎng)，結(jié)合|PF₁|=4及橢圓定義可得|PF₂|=2，再由勾股定理求得|F₁F₂|，則c可求，m可求；
（Ⅱ）設(shè)出P點(diǎn)坐標(biāo)，由兩點(diǎn)間的距離公式可得關(guān)于P點(diǎn)坐標(biāo)的方程組，則答案可求．

解答 解：（Ⅰ）由已知得：|PF₂|=6-4=2，
在△PF₁F₂中，由勾股定理得，$|{F}_{1}{F}_{2}|=\sqrt{4+16}=\sqrt{20}$，
即4c²=20，解得c²=5．
∴m=9-5=4；
（Ⅱ）設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為（x₀，y₀），由（Ⅰ）知，${F}_{1}（-\sqrt{5}，0）$，${F}_{2}（\sqrt{5}，0）$，
∵$|P{F}_{1}|=\sqrt{（{x}_{0}+\sqrt{5}）^{2}+{{y}_{0}}^{2}}=4$，$|P{F}_{2}|=\sqrt{（{x}_{0}-\sqrt{5}）^{2}+{{y}_{0}}^{2}}=2$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{（{x}_{0}+\sqrt{5}）^{2}+{{y}_{0}}^{2}=16}\\{（{x}_{0}-\sqrt{5}）^{2}+{{y}_{0}}^{2}=4}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{0}=\frac{3\sqrt{5}}{5}}\\{{y}_{0}=\frac{4\sqrt{5}}{5}}\end{array}\right.$．
∴P（$\frac{3\sqrt{5}}{5}，\frac{4\sqrt{5}}{5}$）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓方程的求法，考查了橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)，屬中檔題．