Question

【題目】如圖所示，在四棱錐中，底面ABCD為直角梯形，，，，點E為AD的中點，，平面ABCD，且

（1）求證：；

（2）線段PC上是否存在一點F，使二面角的余弦值是？若存在，請找出點F的位置；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）見證明；（2）見解析

【解析】

（1）由題意，證得，再由線面垂直的性質(zhì)，證得，利用線面垂直的判定定理，即可證得平面PEC，進(jìn)而得到．

（2）由（1）建立以H為坐標(biāo)原點，HB、HC、HP所在直線分別為x，y，z軸的坐標(biāo)系，由與共線，得，再求得平面CPD和平面CPD的一個法向量，利用向量的夾角公式即可求解.

證明：（1）∵，，

∴，，

E為AD的中點，，

≌，，

，

，

，平面ABCD，平面ABCD，，

又，且PH，平面PEC，平面PEC，

又平面PEC，．

解：(2)由(1)可知∽，

由題意得，，

，，，，，

、EC、BD兩兩垂直，建立以H為坐標(biāo)原點，HB、HC、HP所在直線分別為x，y，z軸的坐標(biāo)系，

，，，，，

假設(shè)線段PC上存在一點F滿足題意，

與共線，

∴存在唯一實數(shù)，，滿足，解得，

設(shè)向量為平面CPD的一個法向量，

且，，

∴，取，得，

同理得平面CPD的一個法向量，

∵二面角的余弦值是，

∴，

由，解得