Question

時(shí)下，網(wǎng)校教學(xué)越來越受到廣大學(xué)生的喜愛，它已經(jīng)成為學(xué)生們課外學(xué)習(xí)的一種趨勢，假設(shè)某網(wǎng)校的套題每日的銷售量y（單位：千套）與銷售價(jià)格x（單位：元/套）滿足的關(guān)系式y=

m

x-2

+4(x-6)2，其中2＜x＜6，m為常數(shù)．已知銷售價(jià)格為4元/套時(shí)，每日可售出套題21千套．
（1）求m的值；
（2）假設(shè)網(wǎng)校的員工工資，辦公等所有開銷折合為每套題2元（只考慮銷售出的套數(shù)），試確定銷售價(jià)格x的值，使網(wǎng)校每日銷售套題所獲得的利潤最大．（保留1位小數(shù)）

Answer 1

分析：（1）利用銷售價(jià)格為4元/套時(shí)，每日可售出套題21千套，代入關(guān)系式，即可求得m的值；
（2）確定每日銷售套題所獲得的利潤，利用導(dǎo)數(shù)的方法求最值，從而可得銷售價(jià)格x的值．

解答：解：（1）因?yàn)殇N售價(jià)格為4元/套時(shí)，每日可售出套題21千套，所以x=4時(shí)，y=21，
代入關(guān)系式y=

m

x-2

+4(x-6)2，得

m

2

+16=21，
解得m=10．
（2）由（1）可知，套題每日的銷售量y=

10

x-2

+4(x-6)2，
所以每日銷售套題所獲得的利潤f(x)=(x-2)[

10

x-2

+4(x-6)2]=10+4(x-6)2(x-2)=4x3-56x2+240x-278(2＜x＜6)，
從而f'（x）=12x²-112x+240=4（3x-10）（x-6）（2＜x＜6）．
令f'（x）=0，得x=

10

3

，且在(2，

10

3

)上，f′（x）＞0，函數(shù)f（x）單調(diào)遞增；在(

10

3

，6)上，f′（x）＜0，函數(shù)f（x）單調(diào)遞減，
所以x=

10

3

是函數(shù)f（x）在（2，6）內(nèi)的極大值點(diǎn)，也是最大值點(diǎn)，
所以當(dāng)x=

10

3

≈3.3時(shí)，函數(shù)f（x）取得最大值．
故當(dāng)銷售價(jià)格為3.3元/套時(shí)，網(wǎng)校每日銷售套題所獲得的利潤最大．

點(diǎn)評：本題考查函數(shù)模型的構(gòu)建，考查學(xué)生利用導(dǎo)數(shù)的知識(shí)求解最值問題，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題．