Question

已知函數
（1）若對于任意的x∈R，f（x）＞0恒成立，求實數k的取值范圍；
（2）若f（x）的最小值為﹣3，求實數k的取值范圍；
（3）若對于任意的x₁、x₂、x₃，均存在以f（x₁）、f（x₂）、f（x₃）為三邊長的三角形，求實數k 的取值范圍．

Answer 1

解：（1）設t=2^x，則y=（t＞0），
∵y＞0恒成立，
∴t＞0時，t²+kt+1＞0恒成立，即t＞0時，k＞﹣（t+）恒成立，
∵t＞0時，t+≥2，
∴﹣（t+）≤﹣2，
當t=，即t=1時，﹣（t+）有最大值為﹣2，
∴k＞﹣2；
（2）f（x）==1+，
令t=2^x++1≥3，則y=1+（t≥3），
當k﹣1＞0，即k＞1時，y∈（1，]，無最小值，舍去；
當k﹣1=0，即k=1時，y∈{1}，最小值不是﹣3，舍去；
當k﹣1＜0，即k＜1時，y∈[，1），最小值為=﹣3得k=﹣11；
綜上k=﹣11．
（3）因對任意實數x₁、x₂、x₃，都存在以f（x₁）、f（x₂）、f（x₃）為三邊長的三角形，
故f（x₁）+f（x₂）＞f（x₃）
對任意的x₁、x₂、x₃∈R恒成立．
當k＞1時，
∵2＜f（x₁）+f（x₂）≤且1＜f（x₃）≤，
故≤2，
∴1＜k≤4；
當k=1時，
∵f（x₁）=f（x₂）=f（x₃）=1，滿足條件；
當k＜1時，
∵≤f（x₁）+f（x₂）＜2，且≤f（x₃）＜1，
故≥1，
∴﹣≤k＜1；
綜上所述：﹣≤k≤4．