Question

用[x]表示不超過(guò)x的最大整數(shù)，如[1.8]=1．對(duì)于下面關(guān)于函數(shù)f（x）=（x-[x]）²的四個(gè)命題：
①函數(shù)y=f（x）的定義域?yàn)镽，值域?yàn)閇0，1]；
②函數(shù)y=f（x）的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱；
③函數(shù)y=f（x）是周期函數(shù)，最小正周期為1；
④函數(shù)y=f（x）在（0，1）上是增函數(shù)．
其中正確命題的序號(hào)是________．（寫(xiě)出所有正確命題的序號(hào)）

Answer 1

③④（寫(xiě)對(duì)一個(gè)給2分，多寫(xiě)不給分）
分析：根據(jù)題意，以此分析4個(gè)命題：通過(guò)函數(shù)y=x-[x]∈[0，1）的值域可知①是否正確，通過(guò)舉反例f（-）≠f（），可得②不正確，通過(guò)周期函數(shù)的定義可知③是否正確，化簡(jiǎn)函數(shù)在（0，1）上的解析式可知函數(shù)y=f（x）在（0，1）上的單調(diào)性，綜合可得答案．
解答：由題意可知：y=x-[x]∈[0，1），∴函數(shù)f（x）=（x-[x]）²的最大值取不到1，故①不對(duì)；
∵f（-）=[--（-1）]²=，f（）=（-0）²=，則f（-）≠f（）
∴函數(shù)y=f（x）的圖象不關(guān)于y軸對(duì)稱，故②不對(duì)；
又知函數(shù)每隔一個(gè)單位重復(fù)一次，f（x+1）=（x-1-[x+1]）²=f（x），所以函數(shù)是以1為周期的函數(shù)，故③正確；
在（0，1）上f（x）=（x-[x]）²=（x-0）²=x²，∴函數(shù)y=f（x）在（0，1）上是增函數(shù)，故④正確；
故答案為 ③④．
點(diǎn)評(píng)：本題考查的是分段函數(shù)知識(shí)和函數(shù)值域等性質(zhì)的綜合類問(wèn)題．在解答的過(guò)程當(dāng)中充分體現(xiàn)了分類討論的思想、特值的思想以及問(wèn)題轉(zhuǎn)化的思想．值得同學(xué)們體會(huì)反思．