Question

設(shè)函數(shù)f（x）=ln（x+a）+2x²．
（1）若當(dāng)x=-1時(shí)，f（x）取得極值，求a的值；
（2）在（1）的條件下，方程ln（x+a）+2x²-m=0恰好有三個(gè)零點(diǎn)，求m的取值范圍；
（3）當(dāng)0＜a＜1時(shí)，解不等式f（2x-1）＜lna．

Answer 1

解：∵f（x）=ln（x+a）+2x²．∴f'（x）=+4x
（1）由f'（-1）=-4=0?a=
所以a的值為．

（2）由（1）得f'（x）=+4x=，又因?yàn)閤+＞0，
所以f'（x）＞0?x＞-，f'（x）＜0?-x＜-1，
故f（x）的極大值為f（-）=，極小值為f（-1）=2+ln，
ln（x+a）+2x²-m=0恰好有三個(gè)零點(diǎn)須有2+ln＜m＜，
故m的取值范圍是（2+ln，）．

（3）因?yàn)閒'（x）=+4x=，
且f'（x）=0?x₁=＞0，x₂=＜-a，
故f（x）在（-a，0）上遞減．又f（0）=lna．所以f（2x-1）＜lna?2x-1＞0?x＞
所以不等式f（2x-1）＜lna的解集是{x|x＞}．
分析：（1）把-1代入導(dǎo)函數(shù)對(duì)應(yīng)的方程即可．
（2）轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)有三個(gè)不同的交點(diǎn)即可，y=m須位于極大值和極小值之間．
（3）先把lna轉(zhuǎn)化為f（0），在利用條件把變量轉(zhuǎn)化到同一單調(diào)區(qū)間內(nèi)，利用單調(diào)性解題即可．
點(diǎn)評(píng)：本題考查利用極值求對(duì)應(yīng)參數(shù)的值．可導(dǎo)函數(shù)的極值點(diǎn)一定是導(dǎo)數(shù)為0的點(diǎn)，但導(dǎo)數(shù)為0的點(diǎn)不一定是極值點(diǎn)．