（本題滿分14分 ）如圖，在三棱柱中，所有的棱長都為2，.
  
（1）求證：；
（2）當三棱柱的體積最大時，
求平面與平面所成的銳角的余弦值.
（1）見解析；（2）.
(1)因為,取AC的中點M，連接BM，A1M，可知三角形A1AC和三角形ABC都為正三角形，所以易證AC垂直平面A1MB，從而證得.
(2) 當三棱柱的體積最大時，點到平面的距離最大，此時平面.由（1）知A1在底面的射影一定在直線BM上，并且三角形A1MB是等腰三角形，
所以當O與M重合時，點到平面的距離最大.然后在此基礎(chǔ)上再求二面角的大小即可.

另解：當三棱柱的體積最大時，點到平面的距離最大，此時平面.以所在的直線分別為軸，建立直角坐標系，依題意得.
由得，設(shè)平面的一個法向量為
而，則，取
而平面，則平面的一個法向量為
于是，
故平面與平面所成銳角的余弦值為.
練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

已知在四棱錐中，底面是矩形，平面，，，分別是的中點.

（1）求證：平面；
（2）求二面角的余弦值.

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

（本小題滿分12分）四棱錐的底面是正方形，，點E在棱PB上.若AB=,
（Ⅰ）求證：平面；   
（Ⅱ）若E為PB的中點時，求AE與平面PDB所成的角的大小.

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

（本小題滿分12分）如圖，在四棱錐P-ABCD中，PD⊥平面ABCD，PD＝DC＝BC＝1，AB＝2，AB∥DC，∠BCD＝90°．
（1）求證：PC⊥BC；
（2）求點A到平面PBC的距離．
 

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為直角梯形，AD//BC，∠ADC=90°平面PAD⊥底面ABCD，Q為AD的中點，M是棱PC上的點，PA=PD=2，BC=AD=1，CD=.

（Ⅰ）求證：平面PQB⊥平面PAD；
（Ⅱ）設(shè)PM="t" MC，若二面角M-BQ-C的平面角的大小為30°，試確定t的值.

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：填空題

已知，，，則與的位置關(guān)系是_______.

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：填空題

正四棱錐的底面邊長為，高為，是邊的中點，動點在這個棱錐表面上運動，并且總保持，則動點的軌跡的周長為　　　　.

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：單選題

在下列關(guān)于點P，直線、與平面、的命題中,正確的是 （    ）
A．若,，則∥
B．若，，，且，則
C．若且,，則
D．若、是異面直線，,∥,,∥,則∥.

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

如圖，四棱錐中，平面，底面是直角梯形，⊥，⊥，，為中點．

(1) 求證：平面PDC平面PAD；
(2) 求證：BE∥平面PAD；
（3）求二面角的余弦值.

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