直線l與橢圓
y2
a2
+
x2
b2
=1(a＞b＞0)交于A（x1，y1），B（x2，y2）兩點，已知
m
=（ax1，by1），
n
=（ax2，by2），若
m
⊥
n
且橢圓的離心率e=
3
2
，又橢圓經(jīng)過點(
3
2
，1)，O為坐標原點．
（1）求橢圓的方程；
（2）試問：△AOB的面積是否為定值？如果是，請給予證明；如果不是，請說明理由．
分析：（1）利用橢圓的離心率e=
3
2
，橢圓經(jīng)過點(
3
2
，1)，建立方程組，可求幾何量，從而可得橢圓的方程；
（2）分類討論，再設(shè)直線方程代入橢圓方程，利用韋達定理及
m
⊥
n
，即可得到△AOB的面積為定值．
解答：解：（1）∵橢圓的離心率e=
3
2
，橢圓經(jīng)過點(
3
2
，1)，
∴
e=
c
a
=
a2-b2
a
=
3
2
1
a2
+
3
4b2
=1
，∴a=2，b=1
∴橢圓的方程為
y2
4
+x2=1…（4分）
（2）三角形的面積為定值1
①當直線AB斜率不存在時，即x1=x2，y1=-y2，
由已知
m
•
n
=0，得4x12-y12=0，∴y12=4x12
又A（x1，y1）在橢圓上，所以x12+
4x12
4
=1，∴|x1|=
2
2
，|y1|=
2

∴S=
1
2
|x1||y1-y2|=
1
2
|x1|2|y1|=1，∴三角形的面積為定值．…（7分）
②當直線AB斜率存在時：設(shè)AB的方程為y=kx+t，聯(lián)立方程組
y=kx+t
y2
4
+x2=1
，∴（k2+4）x2+2ktx+t2-4=0
△＞0即4k2t2-4（k2+4）（t2-4）＞0，x1+x2=
-2kt
k2+4
，x1x2=
t2-4
k2+4

∵
m
⊥
n
，∴4x1x2+y1y2=0，∴4x1x2+（kx1+t）（kx2+t）=0，代入整理得：2t2-k2=4S=
1
2
|t|
1+k2
|AB|=
1
2
|t|
(x1+x2)2-4x1x1
=
|t|
4k2-4t2+16
k2+4
=
4t2
2|t|
=1
所以三角形的面積為定值． …（12分）
點評：本題考查橢圓的幾何性質(zhì)與標準方程，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，考查三角形面積的計算，正確運用韋達定理是關(guān)鍵．
練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知橢圓
y2
a2
+
x2
b2
=1（a＞b＞0）的離心率為
3
2
，短軸一個端點到上焦點的距離為2．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）過點Q（-2，0）作直線l與橢圓C相交于A、B兩點，直線m是過點(-
4
17
，0)，且以
a
=（0，1）為方向向量的直線，設(shè)N是直線m上一動點，滿足
ON
=
OA
+
OB
（O為坐標原點）．問是否存在這樣的直線l，使得四邊形OANB為矩形？若存在，求出直線l的方程；若不存在，說明理由．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

設(shè)橢圓
x2
b2
+
y2
a2
=1（a＞b＞0）的焦點為F1、F2，P是橢圓上任一點，若∠F1PF2的最大值為
2π
3
．
（Ⅰ）求橢圓的離心率；
（Ⅱ）設(shè)直線l與橢圓交于M、N兩點，且l與以原點為圓心，短軸長為直徑的圓相切．已知|MN|的最大值為4，求橢圓的方程和直線l的方程．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知直線l與橢圓
y2
a2
+
x2
b2
=1(a＞b＞0)交于兩點A（x1，y1），B（x2，y2），橢圓上的點到下焦點距離的最大值、最小值分別為2+
3
，2-
3
，向量
m
=（ax1，by1），
n
=（ax2，by2），且
m
⊥
n
，O為坐標原點．
（Ⅰ）求橢圓的方程；
（Ⅱ）判斷△AOB的面積是否為定值，如果是，請給予證明；如果不是，請說明理由．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2012•煙臺一模）直線l與橢圓
y2
a2
+
x2
b2
=1(a＞b＞0)交于A（x1，y1），B（x2，y2）兩點，已知
m
=（ax1，by1），
n
=（ax2，by2），若
m
⊥
n
且橢圓的離心率e=
3
2
，又橢圓經(jīng)過點(
3
2
，1)，O為坐標原點．
（Ⅰ）求橢圓的方程；
（Ⅱ）若直線l過橢圓的焦點F（0，c）（c為半焦距），求直線l的斜率k的值；
（Ⅲ）試問：△AOB的面積是否為定值？如果是，請給予證明；如果不是，請說明理由．

查看答案和解析>>

同步練習冊答案