Question

設(shè)函數(shù)f（x）=x²+bln（x+1），其中b≠0．
（1）若b=-12，求f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；
（2）如果函f（x）在定義域內(nèi)既有極大值又有極小值，求實(shí)數(shù)b的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）首先考慮函數(shù)的定義域，然后求出導(dǎo)函數(shù)=0時(shí)的值，討論導(dǎo)數(shù)大于小于0時(shí)函數(shù)的遞增遞減區(qū)間即可；
（2）由題意可知導(dǎo)函數(shù)等于0時(shí)在（-1，+∞）有兩個(gè)不等實(shí)根，即2x²+2x+b=0在（-1，+∞）有兩個(gè)不等實(shí)根，設(shè)g（x）=2x²+2x+b=0，然后討論根的判別式大于0即g（-1）大于0得到b的范圍即可．

解答：解：（1）由題意知，f（x）的定義域?yàn)椋?1，+∞），b=-12時(shí)，
由 f′(x)=2x-

12

x+1

=

2x2+2x-12

x+1

=0，得x=2（x=-3舍去），
當(dāng)x∈（-1，2）時(shí)，f'（x）＜0，當(dāng)x∈（2，+∞）時(shí)，f'（x）＞0，
所以當(dāng)x∈（2，+∞）時(shí)，f（x）單調(diào)遞增．
（2）由題意 f′(x)=2x+

b

x+1

=

2x2+2x+b

x+1

=0在（-1，+∞）有兩個(gè)不等實(shí)根，
即2x²+2x+b=0在（-1，+∞）有兩個(gè)不等實(shí)根，
設(shè)g（x）=2x²+2x+b，則

△=4-8b＞0 g(-1)＞0

，
解之得 0＜b＜

1

2

點(diǎn)評(píng)：考查學(xué)生利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性的能力，利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)極值的能力，理解函數(shù)恒成立條件的能力．