Question

在△ABC中，C=2A，cosA=

3

4

（Ⅰ）求cosB；
（Ⅱ）若

BC

•

BA

=

27

2

，求邊AC的長．

Answer 1

考點：余弦定理,平面向量數(shù)量積的運算,正弦定理

專題：解三角形

分析：（Ⅰ）利用已知條件，通過二倍角的余弦函數(shù)求出C的余弦函數(shù)值，正弦函數(shù)值，A的正弦函數(shù)值，然后通過三角形內(nèi)角和以及兩角和與差的三角函數(shù)，即可求cosB；
（Ⅱ）利用

BC

•

BA

=

27

2

，求出ac的值，通過正弦定理即可解出a，c利用余弦定理求邊AC的長．

解答： 解：∵在△ABC中，C=2A，cosA=

3

4

∴cosC=cos2A=2cos²A-1=2×(

3

4

)2-1=

1

8

，
∴sinA=

1-cos2A

=

7

4

，
sinC=

1-cos2C

=

3 7

8

，
∴cos（A+C）=cosAcosC-sinAsinC=

3

4

×

1

8

-

7

4

×

3 7

8

=-

9

16

，
∵在△ABC中，B=π-（A+C）
∴cosB=-cos(A+C)=

9

16

（Ⅱ）設(shè)a、b、c分別是△ABC中A、B、C的對邊，
∵

BC

•

BA

=

27

2

，
∴ac•cosB=

27

2

∴ac=24①
由正弦定理：

c

sinC

=

a

sinA

，得 

c

sin2A

=

a

sinA

∴cosA=

c

2a

=

3

4

∴3a=2c②
由①②解得a=4，c=6
由余弦定理，得b²=a²+c²-2accosB…=42+62-2×4×6×

9

16

=25
∴b=5，即邊AC的長為5．

點評：本題考查余弦定理以及正弦定理的應(yīng)用，三角形的內(nèi)角和以及兩角和與差的三角函數(shù)，考查基本知識的應(yīng)用以及計算能力．