Question

【題目】已知函數(shù)是奇函數(shù).

(1)求實(shí)數(shù)的值;

(2)設(shè)函數(shù),是否存在非零實(shí)數(shù),使得方程恰好有兩個(gè)解?若存在,求出的取值范圍;若不存在,說明理由.

Answer 1

【答案】(1)1;(2)存在,.

【解析】

（1）由奇函數(shù)性質(zhì)得，由此能求出.
（2）先假設(shè)存在，然后將方程恰好有兩個(gè)解的問題轉(zhuǎn)化為當(dāng)時(shí),方程在有兩個(gè)不等的實(shí)根；當(dāng)時(shí),方程在有兩個(gè)不等的實(shí)根，利用根的分布問題來(lái)來(lái)解答.

（1）因是奇函數(shù),故恒成立,

即.

所以.

當(dāng)時(shí),定義域關(guān)于原點(diǎn)不對(duì)稱,不滿足要求,舍去；

當(dāng)時(shí),,定義域?yàn)?/span>滿足要求.

綜上知.

(2)假設(shè)存在非零實(shí)數(shù)使得方程恰好有兩個(gè)解.

而且，

①當(dāng)時(shí),問題轉(zhuǎn)化為方程在有兩個(gè)不等的實(shí)根,

令,

則有,此不等式組無(wú)解；

②當(dāng)時(shí),問題轉(zhuǎn)化為方程在有兩個(gè)不等的實(shí)根,

則有,解得，

綜上知,存在，使得方程恰好有兩個(gè)解.