Question

14．已知{a_n}是首項為1的等比數(shù)列，S_n是a_n的前n項和，且$\frac{{S}_{4}}{{S}_{8}}$=$\frac{1}{17}$，則{$\frac{1}{{a}_{n}}$}前5項和是$\frac{31}{16}$或$\frac{11}{16}$．

Answer 1

分析 根據(jù)等比數(shù)列的前n項和公式，對公比q進行分類討論，列出關(guān)于q的方程求出q，代入通項公式求出a_n，再求出$\frac{1}{{a}_{n}}$，利用等比數(shù)列的前n項和公式求出數(shù)列{$\frac{1}{{a}_{n}}$}的前5項的和．

解答 解：設(shè)等比數(shù)列{a_n}的公比是q，且首項為1，
若q=1時，不滿足$\frac{{S}_{4}}{{S}_{8}}$=$\frac{1}{17}$，所以q=1不成立；
若q≠1，由$\frac{{S}_{4}}{{S}_{8}}$=$\frac{1}{17}$，得17×$\frac{1-{q}^{4}}{1-q}$=$\frac{1-{q}^{8}}{1-q}$，
化簡得，q⁴=16，解得q=2或q=-2，
q=2時，a_n=2^n-1，$\frac{1}{{a}_{n}}$=2^1-n，所以{$\frac{1}{{a}_{n}}$}前5項和是$\frac{1-\frac{1}{{2}^{5}}}{1-\frac{1}{2}}$=$\frac{31}{16}$，
q=-2時，a_n=（-2）^n-1，$\frac{1}{{a}_{n}}$=（-2）^1-n，所以{$\frac{1}{{a}_{n}}$}前5項和是$\frac{1-（-\frac{1}{2}）^{5}}{1+\frac{1}{2}}$=$\frac{11}{16}$，
故答案為：$\frac{31}{16}$或$\frac{11}{16}$．

點評 本題考查等比數(shù)列的定義、通項公式、前n項和公式，以及分類討論思想．