Question

△ABC中，角A、B、C對邊分別是a、b、c，滿足6

AB

•

AC

=（b+c）²-a²．
（Ⅰ）求角A的大�。�
（Ⅱ）若函數(shù)f（x）=

1

2

[cos（2x+A）+cos（2x-A）]+

3

sinxcosx，x∈[0，

π

2

]，求函數(shù)f（x）的取值范圍．

Answer 1

考點：三角函數(shù)中的恒等變換應用,平面向量數(shù)量積的運算

專題：三角函數(shù)的圖像與性質,解三角形

分析：（Ⅰ）利用已知等式建立等式求得cosA的值，進而求得A．
（Ⅱ）利用兩角和公式和二倍角公式整理求得函數(shù)解析式，根據(jù)x的范圍和三角函數(shù)性質求得函數(shù)的取值范圍．

解答： 解：（Ⅰ）∵6

AB

•

AC

=（b+c）²-a²．
∴6bccosA=-a²+b²+c²+2bc，
∴cosA=

1

2

，
∵0＜A＜π，
∴A=

π

3

．
（Ⅱ）f（x）=

1

2

[cos（2x+A）+cos（2x-A）]+

3

sinxcosx
=

1

2

cos2x+

3

2

sin2x
=sin（2x+

π

6

），
∵x∈[0，

π

2

]，
∴sin（2x+

π

6

）∈[-

1

2

，1]，
∴函數(shù)f（x）的取值范圍[-

1

2

，1]．

點評：本題主要考查了三角函數(shù)恒等變換的應用，三角函數(shù)圖象和性質，平面向量數(shù)量積的運算．要求學生基礎熟練的較好掌握和較強的計算能力．