Question

已知橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的離心率e=

6

3

，l₀為過點A（-2，0）和上頂點B₂的直線，下頂點B₁與l₀的距離為

4 5

5

．
（Ⅰ）求橢圓的方程；
（Ⅱ）設(shè)橢圓的動弦CD交l₀于M，若M為線段CD的中點，線段CD的中垂線和x軸交點為N（n，0），試求n的范圍．

Answer 1

分析：（I）由離心率e=

6

3

，建立關(guān)于a，c的方程，下頂點B₁與l₀的距離為

4 5

5

建立關(guān)于b方程，再結(jié)合a²=b²+c²，求出a，b．
（Ⅱ）設(shè)C（x₁，y₁），D（x₂，y₂），M（x₀，y₀），將點C（x₁，y₁），D（x₂，y₂），的坐標(biāo)代入橢圓的方程，用作差的方法得到直線CD的斜率用中點M（x₀，y₀）的坐標(biāo)表示的表達式，則可求出其中垂線用M的坐標(biāo)表示的方程，因其中垂線與x軸交于點N，故令y=0，解出點N的縱坐標(biāo)與M（x₀，y₀）的坐標(biāo)關(guān)系，M的坐標(biāo)的范圍易求，則可求得點N的縱坐標(biāo)n的取值范圍．

解答：解：（I）直線l₀的方程為

x

-2

+

y

b

=1，
即bx-2y=-2b，又B₁（0，-b），
∴

|4b|

4+b2

=

4 5

5

，解得b=1，
又

6

3

=

c

a

=

a2-1

a

，得a²=1． ①
所以，橢圓方程為

x2

3

+y2=1．（4分）
（Ⅱ）設(shè)C（x₁，y₁），D（x₂，y₂），M（x₀，y₀），
由題意直線CD的斜率存在，設(shè)為k，
則

x 2 1 3 + y 2 1 =1 x 2 2 3 + y 2 2 =1 ① x1+x2=2x0 y1+y2=2y0 k= y2-y1 x2-x1 ②

②-①得

x2+x1

3

+(y2+y1)•

y2-y1

x2-x1

=0
∴k=-

x0

3y0

（7分）
∴線段CD的中垂線方程為：y-y0=

3y0

x0

(x-x0)
令y=0，則n=

2

3

x0．（9分）
又聯(lián)立l₀與橢圓方程

x-2y=-2 x2 3 +y2=1

，有7x²+12x=0，
得x=0、-

12

7

，
即有-

12

7

＜x0＜0，（11分）
∴-

8

7

＜n＜0（12分）

點評：本題在考查求橢圓方程的基礎(chǔ)上，考查了求動點坐標(biāo)范圍的問題，解決這類問題的關(guān)鍵是把要求的量與已知的量建立起確定的聯(lián)系，本題充分利用M是C，D的中點這一關(guān)系，設(shè)出C，D兩點的坐標(biāo)，用點差法得到了直線CD斜率用中點的坐標(biāo)表示式，此為在知道直線與圓的兩個交點的中點時研究問題時常的思路，然后再根據(jù)中垂線的幾何特征得到中垂線的方程，求出其與x軸交點的坐標(biāo)，達到了用M的坐標(biāo)來表示N點的坐標(biāo)的目的．此題對觀察轉(zhuǎn)化能力要求較高，需要學(xué)生有良好的探究分析的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，是個難度較高的題．