給出集合A={-2，-1，-
1
2
，-
1
3
，
1
2
，1，2，3}．已知a∈A，使得冪函數(shù)f（x）=xa為奇函數(shù)；指數(shù)函數(shù)g（x）=ax在區(qū)間（0，+∞）上為增函數(shù)．
（1）試寫出所有符合條件的a，說明理由；
（2）判斷f（x）在（0，+∞）的單調(diào)性，并證明；
（3）解方程：f[g（x）]=g[f（x）]．
（1）a=3．…1分
∵指數(shù)函數(shù)g（x）=ax在區(qū)間（0，+∞）上為增函數(shù)，
∴a＞1，
∴a只可能為2或3．
而當a=2時，冪函數(shù)f（x）=x2為偶函數(shù)，
只有當a=3時，冪函數(shù)f（x）=x3為奇函數(shù)．
（只需簡單說明理由即可，無需與答案相同）…2分
（2）f（x）=x3在（0，+∞）上為增函數(shù)．…1分
證明：在（0，+∞）上任取x1，x2，x1＜x2，
f（x1）-f（x2）=x13-x23
=（x1-x2）（x12+x1x2+x22）
=(x1-x2)[(x1+
1
2
x2)2+
3
4
x22
]，
∵x1＜x2，
∴x1-x2＜0，(x1+
1
2
x2)2+
3
4
x22
＞0，
∴f（x1）-f（x2）＜0，
∴f（x1）＜f（x2）．
∴f（x）=x3在（0，+∞）上為增函數(shù)．…3分
（3）f[g（x）]=（3x）3=33x，
g[f（x）]=3x3，
∴33x=3x3，…2分
根據(jù)指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，
得3x=x3，
∴x1=0，x2=
3
，x3=-
3
． …1分．
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相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（1）寫出一元二次方程ax2+bx+c=0有一個正根和一個負根的充要條件
（2）二次函數(shù)y=ax2+bx+c的系數(shù)在集合A={-2，-1，0，1，2，3}中取值，且a，b，c互不相等，則共有多少條拋物線與x
軸的正、負半軸都有交點？
（3）在（2）的條件下，任取一條拋物線它恰與x軸的正、負半軸都有交點的概 率為多少？
（要求列出算式并寫出結(jié)果，若無算式或算式不正確均不給分）

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

給出集合A={-2，-1，-
1
2
，-
1
3
，
1
2
，1，2，3}．已知a∈A，使得冪函數(shù)f（x）=xa為奇函數(shù)；指數(shù)函數(shù)g（x）=ax在區(qū)間（0，+∞）上為增函數(shù)．
（1）試寫出所有符合條件的a，說明理由；
（2）判斷f（x）在（0，+∞）的單調(diào)性，并證明；
（3）解方程：f[g（x）]=g[f（x）]．

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科目：高中數(shù)學 來源：2010年江西省高一第四次月考數(shù)學卷 題型：解答題

給出集合A={-2，-1，，，，1，2，3}。已知a∈A，使得冪函數(shù)為奇函數(shù)，指數(shù)函數(shù)在區(qū)間(0，+∞)上為增函數(shù)。

（1）試寫出所有符合條件的a，說明理由；

（2）判斷f(x)在(0，+∞)的單調(diào)性，并證明；

（3）解方程：f[g(x)]=g[f (x)]。

 

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

給出集合A={-2，-1，數(shù)學公式，數(shù)學公式，數(shù)學公式，1，2，3}．已知a∈A，使得冪函數(shù)f（x）=xa為奇函數(shù)；指數(shù)函數(shù)g（x）=ax在區(qū)間（0，+∞）上為增函數(shù)．
（1）試寫出所有符合條件的a，說明理由；
（2）判斷f（x）在（0，+∞）的單調(diào)性，并證明；
（3）解方程：f[g（x）]=g[f（x）]．

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