【題目】如圖1，在邊長(zhǎng)為4的正三角形ABC中，D，F(xiàn)分別為AB，AC的中點(diǎn)，E為AD的中點(diǎn)．將△BCD與△AEF分別沿CD，EF同側(cè)折起，使得二面角A﹣EF﹣D與二面角B﹣CD﹣E的大小都等于90°，得到如圖2所示的多面體．
（1）在多面體中，求證：A，B，D，E四點(diǎn)共同面；
（2）求多面體的體積．

【答案】
（1）證明：因?yàn)槎娼茿﹣EF﹣D的大小等于90°，

所以平面AEF⊥平面DEFC，

又AE⊥EF，AE平面AEF，平面AEF∩平面DEFC=EF，

所以AE⊥平面DEFC，

同理，可得BD⊥平面DEFC，

所以AE∥BD，故A，B，D，E四點(diǎn)共同面


（2）解：因?yàn)锳E⊥平面DEFC，BD⊥平面DEFC，EF∥CD，AE∥BD，DE⊥CD，

所以AE是四棱錐A﹣CDEF的高，點(diǎn)A到平面BCD的距離等于點(diǎn)E到平面BCD，

又 ， ，

所以


【解析】（1）推導(dǎo)出AE⊥平面DEFC，BD⊥平面DEFC，從而AE∥BD，由此能證明A，B，D，E四點(diǎn)共同面．（2）求出AE是四棱錐A﹣CDEF的高，點(diǎn)A到平面BCD的距離等于點(diǎn)E到平面BCD的距離，多面體的體積V=VA﹣CDEF+VA﹣BCD，由此能求出結(jié)果．
【考點(diǎn)精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解直線與平面垂直的性質(zhì)的相關(guān)知識(shí)，掌握垂直于同一個(gè)平面的兩條直線平行．

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知MOD函數(shù)是一個(gè)求余函數(shù)，記MOD（m，n）表示m除以n的余數(shù)，例如MOD（8，3）=2．如圖是某個(gè)算法的程序框圖，若輸入m的值為48時(shí)，則輸出i的值為（ ）
A.7
B.8
C.9
D.10

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】如圖1，四邊形ABCD是菱形，且∠A=60°，AB=2，E為AB的中點(diǎn)，將四邊形EBCD沿DE折起至EDC1B1 ， 如圖2．
（Ⅰ） 求證：平面ADE⊥平面AEB1；
（Ⅱ） 若二面角A﹣DE﹣C1的大小為 ，求三棱錐C1﹣AB1D的體積．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】正方體ABCD﹣A1B1C1D1的棱和六個(gè)面的對(duì)角線共24條，其中與體對(duì)角線AC1垂直的有條．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線l的參數(shù)方程為 （t為參數(shù)），其中0≤α＜π．在以O(shè)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中，曲線C1：ρ=4cosθ．直線l與曲線C1相切．
（1）將曲線C1的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程，并求α的值．
（2）已知點(diǎn)Q（2，0），直線l與曲線C2：x2+ =1交于A，B兩點(diǎn)，求△ABQ的面積．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】在直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD為菱形，E，F(xiàn)分別是BB1 ， DD1的中點(diǎn)，G為AE的中點(diǎn)且FG=3，則△EFG的面積的最大值為（ ）
A.
B.3
C.
D.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】據(jù)統(tǒng)計(jì)，某物流公司每天的業(yè)務(wù)中，從甲地到乙地的可配送的貨物量X（40≤X＜200，單位：件）的頻率分布直方圖，如圖所示，將頻率視為概率，回答以下問(wèn)題．
（1）求該物流公司每天從甲地到乙地平均可配送的貨物量；
（2）該物流公司擬購(gòu)置貨車(chē)專(zhuān)門(mén)運(yùn)營(yíng)從甲地到乙地的貨物，一輛貨車(chē)每天只能運(yùn)營(yíng)一趟，每輛車(chē)每 趟最多只能裝載40 件貨物，滿載發(fā)車(chē)，否則不發(fā)車(chē)．若發(fā)車(chē)，則每輛車(chē)每趟可獲利1000 元；若未發(fā)車(chē)，
則每輛車(chē)每天平均虧損200 元．為使該物流公司此項(xiàng)業(yè)務(wù)的營(yíng)業(yè)利潤(rùn)最大，該物流公司應(yīng)該購(gòu)置幾輛貨
車(chē)？

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】如圖，在棱長(zhǎng)為1的正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，點(diǎn)P是線段BD1上的動(dòng)點(diǎn)．當(dāng)△PAC在平面DC1 ， BC1 ， AC上的正投影都為三角形時(shí)，將它們的面積分別記為S1 ， S2 ， S3 ．
（i）當(dāng)BP= 時(shí)，S1S2（填“＞”或“=”或“＜”）；
（ii） S1+S2+S3的最大值為 ．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知命題p：函數(shù)f（x）=x3+ax2+x在R上是增函數(shù)；命題q：若函數(shù)g（x）=ex﹣x+a在區(qū)間[0，+∞）沒(méi)有零點(diǎn)．
（1）如果命題p為真命題，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（2）命題“p∨q”為真命題，“p∧q”為假命題，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

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