Question

已知橢圓C1：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）經(jīng)過點M（1，

3

2

），且其右焦點與拋物線C2：y2=4x的焦點F重合．
①求橢圓C₁的方程；
②直線l經(jīng)過點F與橢圓C₁相交于A、B兩點，與拋物線C₂相交于C、D兩點．求

|AB|

|CD|

的最大值．

Answer 1

分析：①首先求出拋物線的焦點坐標(biāo)，則c可求，結(jié)合橢圓的隱含條件及點M（1，

3

2

）在橢圓上，進(jìn)一步列式可求橢圓方程；
②分直線l的斜率存在和不存在兩種情況分析，當(dāng)斜率不存在時，可以直接求出A，B，C，D四點的坐標(biāo)，則

|AB|

|CD|

的值可求，當(dāng)斜率存在時，設(shè)出直線方程，和橢圓方程及拋物線方程聯(lián)立后，運用弦長公式把

|AB|

|CD|

用直線的斜率表示，然后利用基本不等式求其最值．

解答：解：如圖，
①解法1：由拋物線方程為y²=4x，得其焦點F（1，0），
∵橢圓右焦點與拋物線焦點重合，∴c=1．
故a²-b²=c²=1                            ①
又橢圓C₁經(jīng)過點M(1，

3

2

)，∴

1

a2

+

9

4b2

=1     ②
由①②消去a²并整理，得，4b⁴-9b²-9=0，解得：b²=3，或b2=-

3

4

（舍去），
從而a²=b²+1=4． 故橢圓的方程為

x2

4

+

y2

3

=1．
解法2：由拋物線方程，得焦點F（1，0），
∴c=1．
∴橢圓C₁的左右焦點分別為F₁（-1，0），F(xiàn)₂（1，0）．
∵橢圓C1：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）經(jīng)過點M（1，

3

2

），
∴2a=

(1+1)2+( 3 2 -0)2

+

(1-1)2+( 3 2 -0)2

=4．
∴a=2，則a²=4，b²=a²-c²=4-1=3．
故橢圓的方程為

x2

4

+

y2

3

=1．
②當(dāng)直線l垂直于x軸時，
則A（1，

3

2

），B（1，-

3

2

），C（1，2），D（1，-2）．∴

|AB|

|CD|

=

3

4

．
當(dāng)直線l與x軸不垂直，設(shè)其斜率為k（k≠0），則直線l的方程為：y=k（x-1）．
聯(lián)立

y=k(x-1) x2 4 + y2 3 =1

，得：（3+4k²）x²-8k²x+4k²-12=0．
△=（-8k²）²-4×（3+4k²）×（-12）=64k⁴+192k²+144＞0．
∴方程有兩個不等的實數(shù)根．設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
則x1+x2=

8k2

3+4k2

，x1x2=

4(k2-3)

3+4k2

．
所以，|AB|=

(x1-x2)2+(y1-y2)2

=

1+k2

(x1+x2)2-4x1x2

=

1+k2

( 8k2 3+4k2 )2- 16(k2-3) 3+4k2

=

12(1+k2)

3+4k2

．
由

y=k(x-1) y2=4x

，得，k²x²-（2k²+4）x+k²=0．
△=[-（2k²+4）]²-4k⁴=16k²+16＞0，∴方程有兩個不等的實數(shù)根．設(shè)C（x₃，y₃），D（x₄，y₄）．
∵k≠0，∴x3+x4=2+

4

k2

，
由拋物線的定義，得|CD|=x3+x4+2=4+

4

k2

=

4(1+k2)

k2

．
∴

|AB|

|CD|

=

12(1+k2)

3+4k2

•

k2

4(1+k2)

=

3k2

3+4k2

=

3

4+ 3 k2

＜

3

4

．
綜上，當(dāng)直線l垂直于x軸時，

|AB|

|CD|

取得最大值

3

4

．

點評：本題考查了橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的求法，考查了直線和圓錐曲線的位置關(guān)系，考查了數(shù)形結(jié)合的解題思想及分類討論思想，考查了弦長公式，解答此類問題的關(guān)鍵是，常常采用設(shè)而不求的方法，即設(shè)出直線與圓錐曲線交點的坐標(biāo)，解答時不求坐標(biāo)，而是運用根與系數(shù)關(guān)系求出兩個點的橫坐標(biāo)的和與積，然后結(jié)合已知條件整體代入求解問題，此題是難題．