Question

9．已知橢圓的左、右焦點(diǎn)為F₁、F₂，若橢圓上存在點(diǎn)P使∠F₁PF₂=60°，則橢圓的離心率的取值范圍為（　�。�

• A． [$\frac{\sqrt{3}}{2}$，1）
• B． （0，$\frac{\sqrt{3}}{2}$]
• C． [$\frac{1}{2}$，1）
• D． （0，$\frac{1}{2}$]

Answer 1

分析 當(dāng)動(dòng)點(diǎn)P在橢圓長(zhǎng)軸端點(diǎn)處沿橢圓弧向短軸端點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)，P對(duì)兩個(gè)焦點(diǎn)的張角∠F₁PF₂漸漸增大，當(dāng)且僅當(dāng)P點(diǎn)位于短軸端點(diǎn)P₀處時(shí)，張角∠F₁PF₂達(dá)到最大值，由此可得結(jié)論．

解答 解：如圖，當(dāng)動(dòng)點(diǎn)P在橢圓長(zhǎng)軸端點(diǎn)處沿橢圓弧向短軸端點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)，
P對(duì)兩個(gè)焦點(diǎn)的張角∠F₁PF₂漸漸增大，
當(dāng)且僅當(dāng)P點(diǎn)位于短軸端點(diǎn)P₀處時(shí)，張角∠F₁PF₂達(dá)到最大值．
∵存在點(diǎn)P為橢圓上一點(diǎn)，使得∠F₁PF₂=60°，
∴△P₀F₁F₂中，∠F₁P₀F₂≥60°，
∴Rt△P₀OF₂中，∠OP₀F₂≥30°，
所以P₀O≤$\sqrt{3}$OF₂，即b≤$\sqrt{3}$c，
∴a²-c²≤3c²，可得a²≤4c²，
∴$\frac{c}{a}$≥$\frac{1}{2}$，
∵0＜e＜1，
∴$\frac{1}{2}$≤e＜1．
故選C．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了直角三角形的三角函數(shù)和橢圓的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，考查數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．