Question

【題目】如圖，在直三棱柱 中， 分別是 和 的中點(diǎn).

(Ⅰ)求證： 平面 ；
(Ⅱ)若 上一點(diǎn) 滿足 ，求 與 所成角的余弦值.

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）證明： 直三棱柱 中，
,又 ， ，
取 的中點(diǎn) ，連接 , 為中點(diǎn)， 且 .
又 為 中點(diǎn)， 且 ,
且 ，故四邊形 為平行四邊形，
， ， .
(Ⅱ)由等體積法 有 ,則 為 中點(diǎn),
取 中點(diǎn) ,連 , 則 ,故 與 所成角為 （或其補(bǔ)角）,
在 中， ,
由余弦定理有 即為所求角的余弦值
【解析】(1)根據(jù)題意作出輔助線即可得證四邊形為平行四邊形所以DM∥B1N，再由線面平行的判定定理即可得證。(2)由等體積法轉(zhuǎn)化三棱錐的體積得到PB=1，根據(jù)題意作出輔助線進(jìn)而得到N Q ∥ B1 P故故 B1 P 與 M N 所成角為 ∠ Q N M在Δ Q N M 中利用余弦定理求出此角的余弦值即可。