（1）已知-1≤x≤0，求函數(shù)y=4•2x-3•4x的最大值和最小值．
（2）已知函數(shù)f（x）=x+
4x
．判斷f（x）在（0，+∞）上的單調(diào)性并加以證明．
分析：（1）將函數(shù)y=4•2x-3•4x的化為y=-3•（2x）2+4•2x…再令t=2x，轉(zhuǎn)化為關(guān)于t的二次函數(shù)，由-1≤x≤0，求得t∈[
1
2
，1]，利用二次函數(shù)的單調(diào)性質(zhì)即可求其最大值和最小值；
（2）f′（x）=1-
4
x2
，由）f′（x）＞0可求得f（x）在（0，+∞）上的單調(diào)遞增區(qū)間，f′（x）＜0可求得f（x）在（0，+∞）上的單調(diào)遞減區(qū)間．
解答：（1）解：∵y=4•2x-3•4x=-3•（2x）2+4•2x…（2分）
令t=2x，則y=-3t2+4t=-3(t-
2
3
)2+
4
3
…（4分）
∵-1≤x≤0，
∴
1
2
≤2x≤1即t∈[
1
2
，1]…（6分）
又∵對(duì)稱軸t=
2
3
∈[
1
2
，1]，
∴當(dāng)t=
2
3
，即x=log2
2
3
時(shí)ymax=
4
3
…（10分）
當(dāng)t=1時(shí)，即x=0時(shí)，ymin=1…（12分）
（2）f（x）=x+
4
x
在（0，+∞）上單調(diào)減區(qū)間為（0，2），增區(qū)間為（2，+∞）．
證明：∵f′（x）=1-
4
x2
=
(x+2)(x-2)
x2
，
∴由f′（x）＞0得：x＞2或x＜-2，
∵x∈（0，+∞），
∴x＞2．即f（x）=x+
4
x
在（0，+∞）上單調(diào)增區(qū)間為（2，+∞）；
同理，由f′（x）＜0得0＜x＜2或-2＜x＜0（舍），
即f（x）=x+
4
x
在（0，+∞）上的單調(diào)減區(qū)間為（0，2）．
綜上所述，f（x）=x+
4
x
在（0，+∞）上單調(diào)減區(qū)間為（0，2），增區(qū)間為（2，+∞）．
點(diǎn)評(píng)：本題考查復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性，著重考查二次函數(shù)與“雙鉤”的性質(zhì)，突出考查二次函數(shù)的配方法及導(dǎo)數(shù)法（也可用單調(diào)性定義法），屬于難題．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（1）已知矩陣A=
33
24
，向量β=
6
8
，
（Ⅰ）求矩陣A的特征值和對(duì)應(yīng)的特征向量；
（Ⅱ）求向量α，使得A2α=β．
（2）在直角坐標(biāo)平面內(nèi)，以坐標(biāo)原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸的非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系．已知點(diǎn)A、B的極坐標(biāo)分別為（1，0）、(1，
π
2
)，曲線C的參數(shù)方程為
x=rcosα
y=rsinα
(α為參數(shù)，r＞0）
（Ⅰ）求直線AB的直角坐標(biāo)方程；
（Ⅱ）若直線AB和曲線C只有一個(gè)交點(diǎn)，求r的值．
（3）設(shè)不等式|x-2|＞1的解集與關(guān)于x的不等式x2-ax+b＞0的解集相同．
（Ⅰ）求a，b的值；
（Ⅱ）求函數(shù)f(x)=a
x-3
+b
5-x
的最大值，以及取得最大值時(shí)x的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

給出下列四個(gè)命題：
①已知f(x)+2f(
1
x
)=3x，則函數(shù)g（x）=f（2x）在（0，1）上有唯一零點(diǎn)；
②對(duì)于函數(shù)f(x)=x
1
2
的定義域中任意的x1、x2（x1≠x2）必有f(
x1+x2
2
)＜
f(x1)+f(x2)
2
；
③已知f（x）=|2-x+1-1|，a＜b，f（a）＜f（b），則必有0＜f（b）＜1；
④已知f（x）、g（x）是定義在R上的兩個(gè)函數(shù)，對(duì)任意x、y∈R滿足關(guān)系式f（x+y）+f（x-y）=2f（x）•g（y），且f（0）=0，但x≠0時(shí)f（x）•g（x）≠0．則函數(shù)f（x）、g（x）都是奇函數(shù)．
其中正確命題的序號(hào)是
①③
①③
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

對(duì)于函數(shù)f（x），g（x），h（x），如果存在實(shí)數(shù)a，b，使得h（x）=af（x）+bg（x），那么稱h（x）為f（x），g（x）的線性生成函數(shù)．
（1）給出如下兩組函數(shù)，試判斷h（x）是否分別為f（x），g（x）的線性生成函數(shù)，并說明理由．
第一組：f(x)=sinx，g(x)=cosx，h(x)=sin(x+
π
3
)；
第二組：f（x）=x2-x，g（x）=x2+x+1，h（x）=x2-x+1．
（2）已知f（x）=log2x，g（x）=log0.5x的線性生成函數(shù)為h（x），其中a=2，b=1．若不等式3h2（x）+2h（x）+t＜0在x∈[2，4]上有解，求實(shí)數(shù)t的取值范圍；
（3）已知f(x)=x，g(x)=
1
x
，x∈[1，10]的線性生成函數(shù)h（x），其中a＞0，b＞0．若h（x）≥b對(duì)a∈[1，2]恒成立，求實(shí)數(shù)b的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

選修4-5不等式選講
（1）已知x，y，z∈R，且x2+y2+z2=1，求2x+3y+4z的最小值；
（2）解關(guān)于x的不等式：|2x+1|+|x+2|＞5．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

(1)已知函數(shù)f(x)=x2,g(x)為一次函數(shù)，且為增函數(shù)，若f［g(x)］=4x2-20x+15,求g(x)的解析式;

(2)已知af(x)+bf()=cx(a、b、c∈R,ab≠0,a2≠b2),求f(x);

(3)f(x)是R上的奇函數(shù)，且x∈(-∞,0)時(shí)，f(x)=x2+2x,求f(x);

(4)某工廠生產(chǎn)一種機(jī)器的固定成本為5 000元，且每生產(chǎn)100部，需要增加投入2 500元，對(duì)銷售市場(chǎng)進(jìn)行調(diào)查后得知，市場(chǎng)對(duì)此產(chǎn)品的需求量為每年500部，已知銷售收入的函數(shù)為H(x)=500x-x2,其中x是產(chǎn)品售出的數(shù)量，且0≤x≤500.若x為年產(chǎn)量，y表示利潤(rùn)，求y=f(x)的解析式.

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