Question

已知橢圓W的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，離心率為

6

3

，焦距為4，橢圓W的左焦點(diǎn)為F，過點(diǎn)M（-3，0）任作一條斜率不為零的直線l與橢圓W交于不同的兩點(diǎn)A、B，點(diǎn)A關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)為C．
（1）求橢圓W的方程；
（2）

CF

=λ

FB

（λ∈R）是否成立？并說明理由；
（3）求△MBC面積S的最大值．

Answer 1

分析：（1）設(shè)橢圓W的方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1，由題意可知

c a = 6 3 a2=b2+c2 2c=4

解得即可；
（2）點(diǎn)M坐標(biāo)為（-3，0）．于是可設(shè)直線l的方程為y=k（x+3）．設(shè)點(diǎn)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），F(xiàn)（-2，0），C（x₁，-y₁）.

FC

=（x₁+2，-y₁），

FB

=（x₂+2，y₂）．
利用向量共線定理即可判斷出；
（3）利用三角形的面積計算公式和基本不等式即可得出．

解答：解：（1）設(shè)橢圓W的方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1，由題意可知

c a = 6 3 a2=b2+c2 2c=4

解得a=

6

，c=2，b=

2

，
∴橢圓W的方程為

x2

6

+

y2

2

=1． 
（2）點(diǎn)M坐標(biāo)為（-3，0）．于是可設(shè)直線l的方程為y=k（x+3）．
聯(lián)立

y=k(x+3) x2 6 + y2 2 =1

得（1+3k²）x²+18k²x+27k²-6=0，
△=（18k²）²-4（1+3k²）（27k²-6）＞0，解得k2＜

2

3

．
設(shè)點(diǎn)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則x1+x2=

-18k2

1+3k2

，x1x2=

27k2-6

1+3k2

，
y₁=k（x₁+3），y₂=k（x₂+3）．
∵F（-2，0），C（x₁，-y₁）．∴

FC

=（x₁+2，-y₁），

FB

=（x₂+2，y₂）．
∵（x₁+2）y₂-（x₂+2）（-y₁）=（x₁+2）k（x₂+3）+（x₂+2）k（x₁+3）=k[2x₁x₂+5（x₁+x₂）+12]
=k(

54k2-12

1+3k2

+

-90

1+3k2

+12)=

k(54k2-12-90k2+12+36k2)

1+3k2

=0．
∴

CF

=λ

FB

成立．
（3）由（2）可知：k2＜

2

3

．
由題意可知：S=

1

2

|MF| |y1|+

1

2

|MF| |y2|=

1

2

|MF| |y1+y2|
=

1

2

|k(x1+x2)+6k|=

3|k|

1+3k2

=

3

1 |k| +3|k|

≤

3

2 3

=

3

2

．當(dāng)且僅當(dāng)k2=

1

3

＜

2

3

，“=”成立，
∴k2=

1

3

時，△MBC面積S取得最大值．

點(diǎn)評：本題綜合考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、直線與橢圓相交問題轉(zhuǎn)化為方程聯(lián)立得到根與系數(shù)的關(guān)系、三角形的面積公式、向量共線定理等基礎(chǔ)知識與基本技能方法，屬于難題．