Question

已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，且滿足S_n=2a_n-1（n∈N^*）．
（1）證明：數(shù)列{a_n}為等比數(shù)列；
（2）數(shù)列{a_n}滿足b_n=a_n•（log₂a_n+1）（n∈N^*），求其前n項(xiàng)和的T_n．

Answer 1

考點(diǎn)：等差數(shù)列與等比數(shù)列的綜合

專(zhuān)題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）當(dāng)n=1時(shí)，易得a₁=1；當(dāng)n≥2時(shí)，解得a_n=2a_n-1即a_n=2a_n-1（n≥2），且a₁=1，從而{a_n}是以1為首項(xiàng)，以2為公比的等比數(shù)列；
（2）由（1）得an=2n-1（n∈N^*）．可求出bn=2n-1•n，設(shè)Tn=1×20+2×21+3×22+…+n×2n-1①，2Tn=1×2+2×22+3×23+…+n×2n②，①-②可解得Tn=(n-1)×2n+1．

解答： 解：（1）當(dāng)n=1時(shí)，a₁=2a₁-1⇒a₁=1；
當(dāng)n≥2時(shí)，

Sn=2an-1 Sn-1=2an-1-1

⇒an=2an-2an-1⇒an=2an-1；
即a_n=2a_n-1（n≥2），且a₁=1，
故{a_n}是以1為首項(xiàng)，以2為公比的等比數(shù)列
（2）由（1）得an=2n-1（n∈N^*）．
∴bn=2n-1•n
設(shè)Tn=1×20+2×21+3×22+…+n×2n-1①
2Tn=1×2+2×22+3×23+…+n×2n②
①-②：-Tn=1+2+22+23+…+2n-1-n×2n=

1×(1-2n)

1-2

-n×2n=(1-n)×2n-1
∴Tn=(n-1)×2n+1．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考察了等差數(shù)列與等比數(shù)列的綜合應(yīng)用，屬于中檔題．