Question

7．已知數(shù)列{a_n}滿足${a_{n+1}}=\frac{{2{a_n}+3}}{{{a_n}+4}}\;（n∈{N^*}）$，設(shè)${b_n}=\frac{{{a_n}-λ}}{{{a_n}-μ}}\;\;（n∈{N^*}，λ，μ$為均不等于2的且互不相等的常數(shù)），若數(shù)列{b_n}為等比數(shù)列，則λ•μ的值為-3．

Answer 1

分析 ${b_n}=\frac{{{a_n}-λ}}{{{a_n}-μ}}\;\;（n∈{N^*}，λ，μ$為均不等于2的且互不相等的常數(shù)），${a_{n+1}}=\frac{{2{a_n}+3}}{{{a_n}+4}}\;（n∈{N^*}）$，可得b_n+1=$\frac{{a}_{n+1}-λ}{{a}_{n+1}-μ}$=$\frac{（2-λ）{a}_{n}+（3-4λ）}{（2-μ）{a}_{n}+（3-4μ）}$．由于數(shù)列{b_n}為等比數(shù)列，可得$\frac{_{n+1}}{_{n}}$=q為常數(shù)，代入化簡(jiǎn)即可得出．

解答 解：∵${b_n}=\frac{{{a_n}-λ}}{{{a_n}-μ}}\;\;（n∈{N^*}，λ，μ$為均不等于2的且互不相等的常數(shù)），${a_{n+1}}=\frac{{2{a_n}+3}}{{{a_n}+4}}\;（n∈{N^*}）$，
∴b_n+1=$\frac{{a}_{n+1}-λ}{{a}_{n+1}-μ}$=$\frac{\frac{2{a}_{n}+3}{{a}_{n}+4}-λ}{\frac{2{a}_{n}+3}{{a}_{n}+4}-μ}$=$\frac{（2-λ）{a}_{n}+（3-4λ）}{（2-μ）{a}_{n}+（3-4μ）}$，
∵數(shù)列{b_n}為等比數(shù)列，
∴$\frac{_{n+1}}{_{n}}$=q為常數(shù)，
∴$\frac{{a}_{n}-λ}{{a}_{n}-μ}$q=$\frac{（2-λ）{a}_{n}+（3-4λ）}{（2-μ）{a}_{n}+（3-4μ）}$，
化為：（2q-qμ-2+λ）${{a}_{n}}^{2}$+[q（λμ-2λ-4μ+3）-（λμ-2μ-4λ+3）]a_n-q（3λ-4λμ）+（3μ-4λμ）=0，
∴2q-qμ-2+λ=0，
q（λμ-2λ-4μ+3）-（λμ-2μ-4λ+3）=0，
q（3λ-4λμ）-（3μ-4λμ）=0，
聯(lián)立解得λ=-3，μ=1，q=5．
∴λμ=-3．
故答案為：-3．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了等比數(shù)列的通項(xiàng)公式、遞推關(guān)系的應(yīng)用，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．