Question

在△PAB中，已知A（-

6

，0）、B（

6

，0），動(dòng)點(diǎn)P滿足|PA|=|PB|+4．
（1）求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程；
（2）設(shè)M（-2，0），N（2，0），過(guò)點(diǎn)N作直線l垂直于AB，且l與直線MP交于點(diǎn)Q，試在x軸上確定一點(diǎn)T，使得PN⊥QT．

Answer 1

分析：（1）由題意可知?jiǎng)狱c(diǎn)P的軌跡是以A、B為焦點(diǎn)的雙曲線的右支除去其與x軸的交點(diǎn)，且求出雙曲線的實(shí)半軸和半焦距，利用b²=c²-a²求出b²后可得動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程；
（2）分別寫出直線l與直線MP的方程，求出Q點(diǎn)的坐標(biāo)（用含有k的代數(shù)式表示），設(shè)出P點(diǎn)的坐標(biāo)，把直線MP的方程和雙曲線方程聯(lián)立后利用根與系數(shù)的關(guān)系求出P點(diǎn)的坐標(biāo)，再設(shè)出T的坐標(biāo)，寫出向量

PN

與

QT

的坐標(biāo)，由

PN

•

QT

=0列式可求T的坐標(biāo)．

解答：解：（1）∵|PA|-|PB|=4＜|AB|，∴動(dòng)點(diǎn)P的軌跡是以A、B為焦點(diǎn)的雙曲線的右支除去其與x軸的交點(diǎn)．
設(shè)雙曲線方程為

x2

a2

-

y2

b2

=1．
由已知，得

c= 6 2a=4

，解得

c= 6 a=2

，∴b²=c²-a²=2．
∴動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程為

x2

4

-

y2

2

=1(x＞2)．
（2）由題意，直線MP的斜率存在且不為0，設(shè)直線l的方程為x=2．
設(shè)MP的方程為y=k（x+2）．
∵點(diǎn)Q是l與直線MP的交點(diǎn)，∴Q（2，4k）．設(shè)P（x₀，y₀）
由

x2 4 - y2 2 =1 y=k(x+2)

，整理得（1-2k²）x²-8k²x-（8k²+4）=0
則此方程必有兩個(gè)不等實(shí)根x₁=-2，x₂=x₀＞2．
∴1-2k²≠0，且-2x₀=-

8k2+4

1-2k2

．
∴y0=k(x0+2)=

4k

1-2k2

．∴P(

4k2+2

1-2k2

，

4k

1-2k2

)．
設(shè)T（t，0），要使PN⊥QT，只需

PN

•

QT

=0．
由N（2，0），

PN

=(-

8k2

1-2k2

，-

4k

1-2k2

)，

QT

=(t-2，-4k)．
∴

PN

•

QT

=-

1

1-2k2

[8k2(t-2)-16k2]=0．
∵k≠0，∴t=4，此時(shí)

PN

≠

0

，

QT

≠

0

，∴所求T的坐標(biāo)為（4，0）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了圓錐曲線的軌跡的求法，考查了直線和圓錐曲線的關(guān)系，考查了數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法．直線與曲線聯(lián)立，利用方程的根與系數(shù)的關(guān)系解題是處理這類問(wèn)題的最為常用的方法，但圓錐曲線的特點(diǎn)是計(jì)算量比較大，要求考生具備較強(qiáng)的運(yùn)算推理的能力，是難題．