Question

拋物線y=-

x2

2

與過點(diǎn)M（0，-1）的直線l相交于A、B兩點(diǎn)，O為原點(diǎn)．若OA和OB的斜率之和為1，
（1）求直線l的方程； （2）求拋物線y=-

x2

2

與直線l圍成的圖形的面積．

Answer 1

分析：（1）由題意可得設(shè)直線l的方程為y=kx-1，聯(lián)立直線與拋物線的方程可得：x²+2kx-2=0，根據(jù)韋達(dá)定理可得答案．
（2）由（1）可得|x1-x2| =2

3

，結(jié)合S△AOB=

1

2

×1×|x₁-x₂|可得答案．

解答：解：（1）由題意可得直線l的斜率存在，設(shè)直線l的方程為y=kx-1，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
所以聯(lián)立直線與拋物線的方程可得：x²+2kx-2=0，
所以x₁+x₂=-2k，x₁x₂=-2，
因?yàn)镺A和OB的斜率之和為1，即

y1

x1

+

y2

x2

=1，
所以

kx1-1

x1

+

kx2-1

x2

=2k-

x1+x2

x1x2

=1，
所以k=1，
所以直線方程為y=x-1．
（2）由（1）可得x1=-1+

3

，x2=-1-

3

，
所以|x1-x2| =2

3

，
因?yàn)?span id="6d5zx1g" class="MathJye">S△AOB=

1

2

×1×|x₁-x₂|，
所以S△AOB=

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查直線與拋物線的位置關(guān)系，以及三角形的面積公式．