正三棱柱ABC—A1B1C1的底面邊長(zhǎng)為a，側(cè)棱長(zhǎng)為，建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，并寫(xiě)出點(diǎn)A，B，A1，C1的坐標(biāo)，并求出AC1與其在側(cè)面ABB1A1的投影所成的角.

解析：(1)如圖所示，以點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn)，以AB所在直線為Oy軸，以AA1所在直線為Oz軸，以經(jīng)過(guò)原點(diǎn)且與平面ABB1A1垂直的直線為Ox軸，建立空間直角坐標(biāo)系.由已知，得

A(0，0，0)，B(0,a,0),A1(0,0,),C1(),B1(0,a,).

取A1B1的中點(diǎn)M，則M().

連結(jié)AM，MC1，則MC1⊥A1B1.

∴AC1在平面ABB1A1上的射影為AM.

∴∠MAC1為AC與其在面ABB1A1上的射影所成的角.

在Rt△AMC1中，

,

∴tan∠MAC1=.

∴∠MAC1=30°.

∴AC1與其在側(cè)面ABB1A1上的投影所成的角為30°.

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精英家教網(wǎng)如圖：在正三棱柱ABC-A1 B1 C1中，AB=
AA13
=a，E，F(xiàn)分別是BB1，CC1上的點(diǎn)且BE=a，CF=2a．
（Ⅰ）求證：面AEF⊥面ACF；
（Ⅱ）求三棱錐A1-AEF的體積．

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2

（1）設(shè)側(cè)棱長(zhǎng)為1，求證A B1⊥B C1；
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如圖，在正三棱柱ABC-A1 B1 C1中，AA1=4，AB=2，M是AC的中點(diǎn)，點(diǎn)N在AA1上，AN=
1
4
．
（1）求BC1與側(cè)面AC C1 A1所成角的正弦值；
（2）證明：MN⊥B C1；
（3）求二面角C-C1B-M的平面角的正弦值，若在△A1B1C1中，
C1E
=
1
3
EA1
，
C1F
=
1
4
FB1
，
C1H
=x
C1A1
+y
C1B1
，求x+y的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

如圖：在正三棱柱ABC-A1 B1 C1中，AB=數(shù)學(xué)公式=a，E，F(xiàn)分別是BB1，CC1上的點(diǎn)且BE=a，CF=2a．
（Ⅰ）求證：面AEF⊥面ACF；
（Ⅱ）求三棱錐A1-AEF的體積．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：1996年全國(guó)統(tǒng)一高考數(shù)學(xué)試卷（文科）（解析版） 題型：解答題

如圖：在正三棱柱ABC-A1 B1 C1中，AB==a，E，F(xiàn)分別是BB1，CC1上的點(diǎn)且BE=a，CF=2a．
（Ⅰ）求證：面AEF⊥面ACF；
（Ⅱ）求三棱錐A1-AEF的體積．

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