Question

9．如圖，四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AA₁⊥底面ABCD，四邊形ABCD為梯形，AD∥BC，AD=2BC，過 A₁，C，D三點(diǎn)的平面記為α，BB₁與α的交點(diǎn)為Q．
（1）證明：Q為BB₁的中點(diǎn)；
（2）若A₁A=4，CD=2，梯形 ABCD的面積為6，求平面α與底面ABCD所成角的大�。�

Answer 1

分析 （1）由已知得平面QBC∥平面A₁AD，從而QC∥A₁D，由此能證明Q為BB₁的中點(diǎn)；
（2）在△ADC中，作AE⊥DC，垂足為E，連接A₁E，∠AEA₁為平面α與底面ABCD所成二面角的平面角，由此求出平面α與底面ABCD所成二面角的大�。�

解答 （1）證明：∵BQ∥AA₁，BC∥AD，
BC∩BQ=B，AD∩AA₁=A，
∴平面QBC∥平面A₁AD，
從而平面A₁CD與這兩個平面的交線相互平行，
即QC∥A₁D．
故△QBC與△A₁AD的對應(yīng)邊相互平行，
于是△QBC∽△A₁AD，
∴$\frac{BQ}{BB1}$=$\frac{BQ}{AA1}$=$\frac{BC}{AD}$=$\frac{1}{2}$，即Q為BB₁的中點(diǎn)；               
（2）解：如圖所示，在△ADC中，作AE⊥DC，垂足為E，連接A₁E．
又DE⊥AA₁，且AA₁∩AE=A，
∴DE⊥平面AEA₁，∴DE⊥A₁E．
∴∠AEA₁為平面α與底面ABCD所成二面角的平面角．

∵BC∥AD，AD=2BC，∴S_△ADC=2S_△BCA．
又∵梯形ABCD的面積為6，DC=2，
∴S_△ADC=4，AE=4．
于是tan∠AEA₁=$\frac{AA1}{AE}$=1，∠AEA₁=$\frac{π}{4}$．
故平面α與底面ABCD所成二面角的大小為$\frac{π}{4}$．

點(diǎn)評 本題考查面面平行的性質(zhì)，考查四棱柱被平面α所分成上下兩部分的體積之比的求法，考查二面角的大小的求法，是中檔題．