Question

已知函數(shù)f（x）=alnx+bx⁴-c（x＞0）在x=1處取得極值-3-c，其中a，b，c為常數(shù)．
（1）試確定a，b的值；　
（2）討論函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（3）若對任意x＞0，不等式f（x）≤-2c²恒成立，求c的取值范圍．

Answer 1

解：（1）由題意知f（1）=-3-c，∴f（1）=b-c=-3-c，從而b=-3．
又．
由題意f'（1）=0，因此a+4b=0，解得a=12．
（2）由（1）知（x＞0），
令f'（x）=0，解得x=1．
當(dāng)0＜x＜1時，f'（x）＞0，此時f（x）為增函數(shù)；
當(dāng)x＞1時，f'（x）＜0，此時f（x）為減函數(shù)．
因此f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（0，1），而f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為（1，+∞）．
（3）由（2）知，f（x）在x=1處取得極大值f（1）=-3-c，此極大值也是最大值，
要使f（x）≤-2c²（x＞0）恒成立，只需-3-c≤-2c²．
即2c²-c-3≤0，從而（2c-3）（c+1）≤0，
解得．
所以c的取值范圍為．
分析：（1）由f（x）在x=1處取得極值-3-c，可得，解出即可；
（2）利用f'（x）＞0，此時f（x）為增函數(shù)；f'（x）＜0，此時f（x）為減函數(shù)．即可求得其單調(diào)區(qū)間．
（3）要使f（x）≤-2c²（x＞0）恒成立，只需≤-2c²．利用（2）即可得出函數(shù)f（x）的最大值．
點(diǎn)評：本題綜合考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值、最值等性質(zhì)，要注意分離參數(shù)法、轉(zhuǎn)化法的運(yùn)用．