Question

在軸同側的兩個圓：動圓和圓外切（），且動圓與軸相切，求

   （1）動圓的圓心軌跡方程L;

   （2）若直線與曲線L有且僅有一個公共點，求之值。

Answer 1

解析：（1）由可得

    由N，以及兩圓在軸同側，可知動圓圓心在軸上方，設動圓圓心坐標為,

    則有

    整理得到動圓圓心軌跡方程  .  …………（5分）

    另解  由已知可得，動圓圓心的軌跡是以為焦點，為準線，

    且頂點在點（不包含該點）的拋物線，得軌跡方程

    ，即…………………（5分）

    （2）聯(lián)立方程組                ①

               ②

    消去得     ，

    由 整理得

                    ③

    從③可知 。 故令，代入③可得

     再令，代入上式得………（10分）

    同理可得，�？闪�代入③可得

               ④

    對④進行配方，得  

    對此式進行奇偶分析，可知均為偶數(shù)，所以為8的倍數(shù)，所

    以.令，則 .

    所以               …………………………………（15分）

    僅當時，為完全平方數(shù)。于是解得

        . …………………（20分）