Question

已知函數(shù)f（x）=x³-ax²+3x，且x=3是f（x）的極值點(diǎn)．
（Ⅰ）求實(shí)數(shù)a的值；
（Ⅱ）求函數(shù)圖象y=f（x）在點(diǎn)P（1，f（1））處的切線l的方程；
（Ⅲ）求f（x）在[1，5]上的最小值和最大值．

Answer 1

解：（Ⅰ）f'（x）=3x²-2ax+3，因?yàn)閒'（3）=0，即27-6a+3=0，所以a=5（4分）
（Ⅱ） 由f（x）=x³-5x²+3x，f'（x）=3x²-10x+3，得切點(diǎn)P（1，-1），切線l的斜率是k=-4，于是l的方程是y-（-1）=-4（x-1）即4x+y-3=0（8分）
（Ⅲ）令f'（x）=0，x∈[1，5]，解得x=3（9分）
當(dāng)x變化時(shí)，f'（x）、f（x）的變化情況如下表

x	1	（1，3）	3	（3，5）	5
f'（x）		-	0	+
f（x）	-1	↘	極小值 -9	↗	15	（12分）

因此，當(dāng)x=3時(shí)，f（x）在區(qū)間[1，5]上取得最小值f（3）=-9；
當(dāng)x=5時(shí)，f（x）在區(qū)間[1，5]上取得最大值f（5）=15（14分）
分析：（Ⅰ）求出f′（x）并令其=0得到方程，把x=3代入求出a即可；
（Ⅱ）首先求出P點(diǎn)的坐標(biāo)，然后根據(jù)導(dǎo)函數(shù)求出斜率，即可得出切線方程；
（Ⅲ）由（1）求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，可以運(yùn)用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，從而求出函數(shù)f（x）在[1，5]上的最大值和最小值．
點(diǎn)評：題主要考查多項(xiàng)式函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，切線方程、函數(shù)單調(diào)性的判定，函數(shù)最值，函數(shù)、方程等基礎(chǔ)知識，考查運(yùn)算求解能力、及分析與解決問題的能力，難度較大．