Question

在數(shù)列a_n中，a₁=2，a_n+1=2a_n+2ⁿ⁺¹（n∈N）．
（1）求證：數(shù)列{

an

2n

}為等差數(shù)列；
（2）若m為正整數(shù)，當(dāng)2≤n≤m時(shí)，求證：(m-n+1)(

n•3n

an

)

1

m

≤

m2-1

m

Answer 1

分析：（I）把題設(shè)中數(shù)列遞推式變形得

an+1

2n+1

-

an

2n

=1，根據(jù)等差數(shù)列的定義判斷出數(shù)列{

an

2n

}是等差數(shù)列．
（II）根據(jù)（I）可求得數(shù)列{

an

2n

}的通項(xiàng)公式，進(jìn)而求得a_n，令f（n）=f(n)=(m-n+1)•(

3

2

)

n

m

，則可表示出f（n+1），進(jìn)而求得當(dāng)m≥n≥2時(shí)

f(n)

f(n+1)

的表達(dá)式，進(jìn)而求得解決大于1，判斷出f（n）為遞減數(shù)列，進(jìn)而可推斷出f（n）的最大值為
f（2），進(jìn)而問題轉(zhuǎn)化為證明f（2）≤

m2-1

m

．進(jìn)而根據(jù)(1+

1

m

)m≥2+

1

m2

•

m(m-1)

2

推斷出

9

4

≤(

m+1

m

)m=(1+

1

m

)m進(jìn)而可知(m-n+1)(

3

2

)

n

m

≤

m2-1

m

原式得證．

解答：解：（I）由a_n+1=2a_n+2ⁿ⁺¹變形得：

an+1

2n+1

=

an

2n

+1，即

an+1

2n+1

-

an

2n

=1
故數(shù)列{

an

2n

}是以

a1

2

=1為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列
（II）由（I）得a_n=n•2ⁿ(m-n+1)(

n•3n

an

)

1

m

≤

m2-1

m

即(m-n+1)(

3

2

)

n

m

≤

m2-1

m

令f(n)=(m-n+1)•(

3

2

)

n

m

，則f(n+1)=(m-n)•(

3

2

)

n+1

m

當(dāng)m＞n≥2時(shí)，

f(n)

f(n+1)

=

m-n+1

m-n

•(

2

3

)

1

m

=(1+

1

m-n

)•(

2

3

)

1

m

≥(1+

1

m-2

)•(

2

3

)

1

m

又(1+

1

m-2

)m=1+

C

1 m

•

1

m-2

+＞1+

m

m-2

＞2＞

3

2

∴1+

1

m-2

＞(

3

2

)

1

m

則

f(n)

f(n+1)

＞1，則f(n)為遞減數(shù)列．
當(dāng)m=n時(shí)，f（n）＞f（n+1）
∴當(dāng)m≥n≥2時(shí)，f（n）遞減數(shù)列．
∴f(x)max=f(2)=(

9

4

)

1

m

(m-1)，故只需證(

9

4

)

1

m

(m-1)≤

m2-1

m

要證：(m-n+1)(

3

2

)

n

m

≤

m2-1

m

即證

9

4

≤(

m+1

m

)m=(1+

1

m

)m，而m≥2時(shí)，(1+

1

m

)m≥

C

0 m

+

C

1 m

•

1

m

+

C

0 m

•

1

m2

=2+

1

m2

•

m(m-1)

2

=2+

m-1

2m

=2+

1

2

-

1

2m

≥2+

1

2

-

1

2×2

=

9

4

故原不等式成立．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了等差關(guān)系的確定，數(shù)列與不等式的綜合運(yùn)用．考查了考生綜合分析問題和演繹推理的能力，轉(zhuǎn)化和化歸思想的運(yùn)用．屬中檔題．