Question

定義在R上的函數(shù)f（x）=sinx+2xf′（

π

3

），f′（x）為f（x）的導(dǎo)函數(shù)，令a=-

1

2

，b=log₃2，則下列關(guān)系正確的是（　　）

• A、f（a）+f（b）＜0
• B、f（-a）+f（b）＞0
• C、f（a）+f（-b）＜0
• D、f（-a）+f（-b）＜0

Answer 1

考點：導(dǎo)數(shù)的運算

專題：導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用

分析：求出原函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，取x=

π

3

求出f′（

π

3

），代入原函數(shù)解析式后求出f（x），求導(dǎo)函數(shù)判斷原函數(shù)的單調(diào)性，比較a與b的大小后運用單調(diào)性判斷f（a）與f（b）的大小，再判斷出函數(shù)的奇偶性，再判斷各個選項．

解答： 解：由題意得，f（x）=sinx+2xf′（

π

3

），
則f′（x）=cosx+2f′（

π

3

），
令x=

π

3

代入f′（x）得，f′（

π

3

）=cos

π

3

+2f′（

π

3

），
解得f′（

π

3

）=-

1

2

，所以f（x）=sinx-x，
由f′（x）=cosx-1≤0，得到f（x）為遞減函數(shù)，
因為a=-

1

2

＜b=log₃2，則f （a）＞f （b），
即f （a）-f （b）＞0①，或f （b）-f （a）＜0②，
因為函數(shù)f（x）=sinx-x是奇函數(shù)，
所以①等價于f （a）+f （-b）＞0，則C錯誤；
②等價于f （-a）+f （b）＜0，則B錯誤；
因為-a=

1

2

=

log

3 3

＜b=log₃2，則f （-a）＞f （b），
即f （-a）-f （b）＞0，所以f （-a）+f （-b）＞0，則D錯誤；
由f （-a）+f （-b）＞0得-f （a）-f （b）＞0，
即f （a）+f （b）＜0，則A正確；
故選：A．

點評：本題考查了導(dǎo)數(shù)的運算，函數(shù)的奇偶性的定義、性質(zhì)，利用導(dǎo)函數(shù)判斷一個函數(shù)的單調(diào)性，由單調(diào)性比較兩個函數(shù)值的大小，考查轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題．