Question

已知函數(shù)f(x)=

mx2+2

3x+n

是奇函數(shù)，且f(2)=

5

3

．
（Ⅰ）求實(shí)數(shù)m和n的值；
（Ⅱ）判斷函數(shù)f（x）在（-∞，-1]上的單調(diào)性，并加以證明．

Answer 1

分析：（I）由函數(shù)是奇函數(shù)的，∴f（-x）=-f（x）恒成立，再用待定系數(shù)法求得m，n或找到m，n的關(guān)系，然全結(jié)合f(2)=

5

3

求解．
（II）用單調(diào)性定義證明，先在給定區(qū)間上任取兩個(gè)變量，且界其大小，再作差變形看符號(hào)．當(dāng)自變量變化與函數(shù)值變化一致時(shí)，為增函數(shù)，當(dāng)自變量變化與函數(shù)值變化相反時(shí)，為減函數(shù)．

解答：解：（Ⅰ）∵函數(shù)f(x)=

mx2+2

3x+n

是奇函數(shù)
∴f（-x）=-f（x）
∴

mx2+2

-3x+n

=-

mx2+2

3x+n

=

mx2+2

-3x-n

∴n=0
∵f(2)=

5

3

．
∴

4m+2

6

=

5

3

∴m=2
（II）函數(shù)f（x）在（-∞，-1]上是增函數(shù)
證明：任取x1 ＜x2＜-1，f(x1) -f(x2) =

2

3

(x1+

1

x1

)-

2

3

(x2+

1

x2

)=

2

3

(x1-x2) (x1x2-1)

x1x2

∵x₁＜x₂＜-1，∴x₁-x₂＜0，x₁x₂-1＞0
∴f（x₁）-f（x₂）＜0
∴f（x₁）＜f（x₂）
∴函數(shù)f（x）在（-∞，-1]上是增函數(shù)

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查函數(shù)的奇偶性解題，一般情況下，已知奇偶性時(shí)，用待定系數(shù)法求解問題；同時(shí)還考查了用單調(diào)性定義證明函數(shù)的單調(diào)性，要注意變形要到位．