Question

已知函數f（x）=ax²+a²x+2b-a³，當x∈（-2，6）時，其值為正，而當x∈（-∞，-2）∪（6，+∞）時，其值為負．
（I）求實數a，b的值及函數f（x）的解析式；
（II）設F（x）=-

k

4

f（x）+4x+12k，問k取何值時，方程F（x）=0有正根？

Answer 1

分析：（Ⅰ）由題意知-2，6為方程f（x）=0的兩根，由韋達定理可求a，b值；
（Ⅱ）把F（x）=0表示出來，根據二次方程的根與系數關系求出根，利用根大于0這一條件可求k范圍．

解答：解：（Ⅰ）由題意可知-2和6是方程f（x）=0的兩根，
∴

-a=-2+6=4 2b-a3 a =-2×6=-12

，解得

a=-4 b=-8

．
∴此時a=-4，b=-8．
f（x）=-4x²+16x+48．
（Ⅱ）F（x）=-

k

4

（-4x²+16x+48）+4x+12k=kx²+4（1-k）x，
當k=0時，F（x）=4x，不合題意；
當k≠0時，F（x）=0的一根為

4(k-1)

k

，
則有k（k-1）＞0，解得k＞1或k＜0．
故當k＞1或k＜0時，方程F（x）=0有正根．

點評：本題考查二次函數解析式的求法及韋達定理，屬基礎題，難度不大．