Question

13．已知向量$\overrightarrow{a}$=（3，0），$\overrightarrow$=（0，2），若向量$\overrightarrow{c}$滿足（$\overrightarrow{a}-\overrightarrow{c}$）⊥（$\overrightarrow{c}-\overrightarrow$），求|$\overrightarrow{c}$|的取值范圍．

Answer 1

分析 由題意，設(shè)$\overrightarrow{c}$=（x，y），得到（$\overrightarrow{a}-\overrightarrow{c}$）和（$\overrightarrow{c}-\overrightarrow$）的坐標(biāo)，利用垂直的性質(zhì)得到關(guān)于x，y等式，再求模的范圍．

解答 解：設(shè)$\overrightarrow{c}$=（x，y），
則$\overrightarrow{a}-\overrightarrow{c}$=（3-x，-y），$\overrightarrow{c}-\overrightarrow$=（x，y-2），
因?yàn)椋?\overrightarrow{a}-\overrightarrow{c}$）⊥（$\overrightarrow{c}-\overrightarrow$），
所以（$\overrightarrow{a}-\overrightarrow{c}$）•（$\overrightarrow{c}-\overrightarrow$）=0，即（3-x）x-y（y-2）=0，
所以（x-$\frac{3}{2}$）²+（y-1）²=$\frac{13}{4}$，
所以|$\overrightarrow{c}$|=$\sqrt{{x}^{2}+{y}^{2}}$，表示圓上的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離，
所以最大值為$\frac{\sqrt{13}}{2}×2=\sqrt{13}$，最小值為0；
所以|$\overrightarrow{c}$|的取值范圍為[0，$\sqrt{13}$]．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了向量的坐標(biāo)運(yùn)算、向量垂直的性質(zhì)以及利用向量的模的幾何意義求模的最值．