Question

已知圓C的方程為x²+y²+2x-4y+a²-1=0，A點(diǎn)坐標(biāo)為（1，2），過A點(diǎn)作圓C的切線有兩條．
（1）求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（2）當(dāng)過A的兩條切線互相垂直，求實(shí)數(shù)a的值及兩條切線的方程．

Answer 1

考點(diǎn)：圓的切線方程

專題：直線與圓

分析：（1）化圓的方程為標(biāo)準(zhǔn)式，由6-a²＞0求得a的范圍，結(jié)合點(diǎn)A在圓外進(jìn)一步求得a的范圍，取交集得答案；
（2）∵過A的兩條切線互相垂直，∴|AC|=

2

R，再由|AC|=2=

2

•

6-a2

求得a的值．設(shè)出過A的切線方程為：y-2=k（x-1），化為一般式，由圓心C到切線的距離等于圓的半徑求得k，則圓的切線方程可求．

解答： 解：（1）由x²+y²+2x-4y+a²-1=0，得（x+1）²+（y-2）²=6-a²，
∴6-a²＞0，即-

6

＜a＜

6

．
∵過A點(diǎn)作圓C的切線有兩條，∴（1+1）²+（2-2）²＞6-a²，解得a＜-

2

或a＞

2

．
∴實(shí)數(shù)a的取值范圍是-

6

＜a＜-

2

或

2

＜a＜

6

；
（2）∵過A的兩條切線互相垂直，∴|AC|=

2

R，
∴|AC|=2=

2

•

6-a2

，解得a=±2．
設(shè)過A的切線方程為：y-2=k（x-1），即kx-y+2-k=0．
∵C（-1，2），∴d=

|-2k|

k2+1

=

2

，解得：k=±1．
∴兩直線方程為：x-y+1=0或x+y-3=0．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了圓的切線方程，考查了點(diǎn)與圓、直線與圓的位置關(guān)系，考查了點(diǎn)到直線距離公式的應(yīng)用，是中檔題．