【題目】設函數(shù)．

（Ⅰ）討論函數(shù)的單調(diào)性；

（Ⅱ）若函數(shù)有兩個極值點，且，求證： ．

【答案】（Ⅰ）當時，函數(shù)在上單調(diào)遞增；

當時，函數(shù)在區(qū)間單調(diào)遞增; 在區(qū)間函數(shù)單調(diào)遞減;

當時， 函數(shù)單調(diào)遞減, 函數(shù)單調(diào)遞增;

（Ⅱ）見解析.

【解析】試題分析：

試題分析：（Ⅰ）函數(shù)的定義域為，得到，令，則，分和分類討論，即可求解函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.

（Ⅱ）當函數(shù)有兩個極值點時,得,令,利用和函數(shù)的最值，即可證明結論.

試題解析：

（Ⅰ）函數(shù)的定義域為，

令，則．

①當時， , ，從而，故函數(shù)在上單調(diào)遞增；

②當時， , 的兩個根為 ，

當時， ，此時，當函數(shù)單調(diào)遞減;當函數(shù)單調(diào)遞增．

當時， ,此時函數(shù)在區(qū)間單調(diào)遞增;當函數(shù)單調(diào)遞減．

綜上: 當時，函數(shù)在上單調(diào)遞增；當時，函數(shù)在區(qū)間單調(diào)遞增; 在區(qū)間函數(shù)單調(diào)遞減; 當時， 函數(shù)單調(diào)遞減, 函數(shù)單調(diào)遞增.

（Ⅱ）當函數(shù)有兩個極值點時, ,,

且 即,

令

,令,函數(shù)單調(diào)遞增;

令,函數(shù)單調(diào)遞減;

,

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】某企業(yè)常年生產(chǎn)一種出口產(chǎn)品，根據(jù)預測可知，進入21世紀以來，該產(chǎn)品的產(chǎn)量平穩(wěn)增長．記2009年為第1年，且前4年中，第x年與年產(chǎn)量f(x) 萬件之間的關系如下表所示：

x

1

2

3

4

f(x)

4.00

5.58

7.00

8.44

若f(x)近似符合以下三種函數(shù)模型之一：f(x)＝ax＋b，f(x)＝2x＋a，f(x)＝logx＋a.

(1)找出你認為最適合的函數(shù)模型，并說明理由，然后選取其中你認為最適合的數(shù)據(jù)求出相應的解析式；

(2)因遭受某國對該產(chǎn)品進行反傾銷的影響，2015年的年產(chǎn)量比預計減少30%，試根據(jù)所建立的函數(shù)模型，確定2015年的年產(chǎn)量．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】如圖，水平放置的正四棱柱形玻璃容器Ⅰ和正四棱臺形玻璃容器Ⅱ的高均為32cm，容器Ⅰ的底面對角線AC的長為10cm，容器Ⅱ的兩底面對角線，的長分別為14cm和62cm．分別在容器Ⅰ和容器Ⅱ中注入水，水深均為12cm．現(xiàn)有一根玻璃棒l，其長度為40cm．（容器厚度、玻璃棒粗細均忽略不計）

（1）將放在容器Ⅰ中，的一端置于點A處，另一端置于側棱上，求沒入水中部分的長度；

（2）將放在容器Ⅱ中，的一端置于點E處，另一端置于側棱上，求沒入水中部分的長度．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】選修4-4：坐標系與參數(shù)方程

以坐標原點為極點，以軸正半軸為極軸，建立極坐標系，兩種坐標系中取相同的長度單位，直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），圓的極坐標方程為.

（1）求直線的普通方程與圓的直角坐標方程；

（2）設圓與直線交于兩點，若點的直角坐標為，求的值.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知定義在R上的偶函數(shù)f（x），當x≥0時，f（x）=x2﹣4x
（1）求f（﹣2）的值；
（2）當x＜0時，求f（x）的解析式；
（3）設函數(shù)f（x）在[t﹣1，t+1]（t＞1）上的最大值為g（t），求g（t）的最小值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】設函數(shù)f（x）=log2（4x）log2（2x）的定義域為 ． （Ⅰ）若t=log2x，求t的取值范圍；
（Ⅱ）求y=f（x）的最大值與最小值，并求取得最值時對應的x的值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)且.

（I）若，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（其中是自然對數(shù)的底數(shù)）

（II）設函數(shù)，當時，曲線與有兩個交點，求的取值范圍.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知 ≤a≤1，若函數(shù)f（x）=ax2﹣2x+1在區(qū)間[1，3]上的最大值為M（a），最小值為N（a），令g（a）=M（a）﹣N（a）．
（1）求g（a）的函數(shù)表達式；
（2）判斷函數(shù)g（a）在區(qū)間[ ，1]上的單調(diào)性，并求出g（a）的最小值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】為了解學生的身體素質(zhì)情況，現(xiàn)從我校學生中隨機抽取10人進行體能測試，測試的分數(shù)（百分制）如莖葉圖所示.根據(jù)有關國家標準，成績不低于79分的為優(yōu)秀，將頻率視為概率.

(1)另從我校學生中任取3人進行測試，求至少有1人成績是“優(yōu)秀”的概率；

(2)從前文所指的這10人（成績見莖葉圖）中隨機選取3人，記 表示測試成績?yōu)椤皟?yōu)秀”的學生人數(shù)，求的分布列及期望.

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